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邵阳学院课程设计
DSP 代码在硬件或仿真状态中的运行情况。
3系统方案设计
3.1设计原理
3.1.1离散傅里叶变换DFT
对于长度为N的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT）为
?X(k)= ?式中，WN=e
-j*2π/N
n?0x(n)*WN
-nk
（1）
，称为旋转因子或蝶形因子。
从DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k值，直接按（1）式计算X(k) 只需要N次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N个k值，共需要N次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N值（如1024点）来说，直接计算它的DFT所需要的计算量是很大的，因此DFT运算的应用受到了很大的限制。
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3.1.2快速傅里叶变换FFT
旋转因子WN 有如下的特性。 对称性：WN周期性：WN
k+N/2
=-WNk （2） =WNk(N-n)=WN-nk （3）
n(N-k)
利用这些特性，既可以使DFT中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT分解成几个短序列的DFT。FFT就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。
FFT的算法是将长序列的DFT分解成短序列的DFT。例如：N为偶数时，先
将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT分解成N/4点的DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT算法，它的最小变换是
2点DFT。
一般而言，FFT算法分为按时间抽取的FFT（DIT FFT）和按频率抽取的FFT
（DIF FFT）两大类。DIF FFT算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分
成2个短序列进行计算。而DIF FFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成2个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIF FFT算法中，旋转因子WN出现在输入端，而在DIF FFT算法中它出
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现在输入端。
假定序列x(n)的点数N是2的幂，按照DIF FFT算法可将其分为偶序列和奇序列。
偶序列：x(2r)=x1(r) 奇序列：x(2r+1)=x2(r)
其中：r=0,1,2,…,N/2-1，则x(n)的DFT表示为
N?1N?1nkNN?1nkNX?k???x?n?Wn?0N/2?1??x?n?Wn?0??x?n?WNn?0nkn为偶数N/2?1n为奇数?2r?1?k
?
?r?0x?2r?WN2rk??r?0x?2r?1?WNN/2?1 N/2?1
?
x2?r?0N/2?1x1?r??W2N?rk?WkN?r?0?r??W2N?rkN/2?1??r?0x1?r?WkrkN/2?WkN?r?0x2rk?r?WN/2?X1?k??WNX2k+N/2
k
?k?r,k?0,1,...N/2?1式中，X1 (k)和X2(k)分别为X1(r)和X2(r)的N/2的DFT。 由于对称性，WN
=-WNk。因此，N点DFT可分为两部分：
k
前半部分：x(k)=x1(k)+WNx2(k) （4） 后半部分：x(N/2+k)=x1(k)-WNx2(k) k=0,1,…,N/2-1 （5）
从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间x1(k)和x2(k)的值，就可求出0~N-1区间x(k)的N点值。
以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT，重复抽取过程，就可以使N点的DFT用上组2点的DFT来计算，这样就可以大减少运算量。
基2 DIF FFT的蝶形运算如图3.1所示。设蝶形输入为x1(k)和x2(k)，输出为
x(k)和x(N/2+K)，则有
x(k)=x1(k)+WkNx2(k) （6） x(N/2+k)=x1(k)-WkNx2(k) （7）
在基数为2的FFT中，设N=2，共有M级运算，每级有N/2个2点FFT
5 M
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蝶形运算，因此，N点FFT总共有MN/2个蝶形运算。
AA＋ BCBCA－ BC图3.1 基2 DIF FFT的蝶形运算
例如：基数为2的FFT，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT的蝶形运算。其信号流程如图3.2所示。
x(0) x(0)
WN0
x(4) x(1) -1 WN0
x(2) x(2) -1 WN0 WN2
x(6) x(3) -1
-1
WN0
x(1) x(4) -1 WN0 WN1
x(5) x(5) -1 -1 WN0 WN2
x(3) x(6) -1 -1 WN0 WN2 WN3
x(7) x(7)
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-1 -1 -1
图3.2 8点基2 DIF FFT蝶形运算
从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)，输出是按自然顺序排列，其顺序为
x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7).
4软件设计
4.1程序流程图
DSP初始化 串口设置 AD设置 设置信号源类型、频率幅值、和采样点数 串口接收，AD采样 位码倒置 7 FFT运算
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