2016-2017学年上海市金山区张堰中学高二(上)期末数学试卷

18．（8分）已知向量、满足：（1）求与的夹角θ； （2）若

|=1，|=2，且．

，求实数m的值．

【分析】（1）根据平面向量的数量积公式，求出向量的夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求m的值． 【解答】解：（1）∵∴2又

﹣5?+2|=1，

|=2，

=5，

，

∴解得?=1；…（2分） 又∵

且θ∈[0，π]， ∴（2）∵∴即

∴1﹣4m=0，

解得m=．…（8分）

【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式、垂直的应用问题，是基础题目．

19．（10分）已知双曲线C：x2﹣y2=1，直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点．

（1）求实数k的取值范围； （2）如果|AB|=6

，求实数k的值．

第13页（共17页）

，…（3分）

；…（4分）

， ，

，…（6分）

【分析】（1）直线与双曲线方程联立，利用直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、

B两点，可得，即可求实数k的取值范围；

（2）如果|AB|=6，利用弦长公式，建立方程，即可求实数k的值．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）

…（2分）

∵直线y=kx﹣1交双曲线的左支于A、B两点

∴…（2分）…（5分）

（2）∵∴

∴28k4﹣55k2+25=0 ∴又∵∴

或

…（9分）

…（6分）

…（7分）

…（10分）

【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F． （1）点A，P满足

．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；

第14页（共17页）

（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；

（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．

【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则

，

因为F的坐标为（1，0），所以由即

，

得

，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．

，解得

代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．

（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），

则，解得．

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（

）．

．

【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．

21．（14分）设点轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过定点D（t，0）（|t|＜2）作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原

第15页（共17页）

、，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的

点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；

（3）过点（1，0）作直线l交曲线C于A、B两点，在x轴上是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由椭圆定义可得P的轨迹是长轴2a=4，焦半距隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）联立直线x=t与椭圆方程，求出A、B的坐标，代入三角形面积公式，利用配方法求得△OAB面积的最大值；

（3）设E（m，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2）．若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数求得m值，已知l与x轴垂直成立得答案． 【解答】解：（1）∵动点P满足|PF1|+|PF2|=4， ∴P的轨迹是长轴2a=4，焦半距∴b2=a2﹣c2=1． ∴曲线C的方程为

；

的椭圆．

的椭圆，结合

（2）联立，解得A（t，）、B（t，）．

∴当t2=2，即

时，（S△OAB）max=1；

．

（3）设E（m，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2）． 若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），

，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．

由

∴．

∵

第16页（共17页）