压缩映射原理的性质和应用

备性，就可以找到对应的压缩映射原理，但是根据参考文献[8]，我了解到在1971年科学家H.Sherwood举出了反例，所以在PM?空间中探讨压缩映射原理时，需要加入更强的条件，按照泛函分析中的方法和技巧，首先要在概率度量空间上定义收敛，压缩映像，不动点的概念，然后寻找适当的条件，构造出概率度量空间下的压缩映射原理，经过本人对参考文献的研究这些概念在概率度量空间下和之前探讨的相同概念在形式上有很大的不同，但在本质上还有方法上还是很相似的。几个重要的概念如下所示：

?1?f:E?E被称为压缩映像，如果满足对于?x,y?E，

?x?Ff?x?,f?y??x??Fx,y???Fkx,ky?x?。

?k??2?x?被称为f的不动点，如果Ff?x?,x?t??H?t?，对于?t?R成立。

??Fx,x?t??H?t?成立。 ?3?设?xn??E,x?E,称xn收敛到x，如果对于?t?R,limn??n注释：如果按照正常的对极限的理解，会有如下定义：如果对于

??,??0,?N??,??,对于?n?N,Fxn,x????1??，成立，那么称xn收敛到x。实际上可以证明这两个概念是等价的。

证明，

Fx,x????1,即???0,?N,n?N,有Fx,x????1??成立，???已知???0,nlim??nn即Fxn,x????1??成立。

???已知?t?0,???0,?N,n?N,有Fx,x?t??1??成立，即Fx,x?t??1??，

nn亦即limFxn,x?t??1，对于?t?0成立。

n??另一方面当?t?0,limFxn,x?t??0，所以对于?t?R,limFxn,x?t??H?t?成立

n??n??基本概念大致就这些，下面就可以开始研究压缩映射下的不动点问题了。

在一般的度量空间里不动点可以有好多个，比如对于函数f?x??x，它定义域内的所有的点都是不动点，而由于在概率度量空间上受到现实问题的约束，因此概率度量空间下的压缩映射不动点就会有一些规律。例如对于概率度量空间中任意压缩映像，它的不动点至多只有一个。

证明

22

从结论上看证明比较适合用反证法，因此设x1,x2为压缩映射f的两个不一样的不动点，

?t??t?则Fx1,x2?t??Ffx1,fx2?t??Fx1,x2???Ffx1,fx2??

?k??k??t??t??Fx1,x2?2??????Fx1,x2?n?，

?k??k?所以Fx1,x2?t??1，所以Fx1,x2?t??H?t?，所以x1?x2。

在这里要讲述一个非常有用的定理，它的证明方法也在后面会很有用，

这个定理的内容和证明都出自于参考文献[10]。

任取x0?E，记xn?1?f?xn?，Gx0?t??infFx0,xm?t?,m?0,1,2,???，设

???E,F,??是一个完备的M?概率度量空间，其中?满足??t,t??1,对于?t?1，

f:E?E为压缩映射，那么下面两个结论必定会成立其中一个：

?1?f存在唯一的不动点。

0?2?对于?x0?E,sup?Gx?t???1成立。

对这种问题的证明思路就是否定其中一个然后去证明另一个。 证明，设supGx0?t??1，所以

?t??t??t?Fxn,xn?m?t??Ffxn?1,fxn?m?1?t??Fxn?1,xn?m?1???????Fx0,xm?n??Gx0?n?，

?k??k??k???Fxn,xn?m?t??H?t?，对于?t?R，关于m一致成立，所以存在 所以limn??x??limxn。

n??下面证明x?为f的不动点，因为

Ffx?,x??t???Ffx?,x?t?,Fxm??m,x?t?????Fx???t?,Ft?????xm,x??， m?1,x?k??????t?lim??Fx?,x???,Fx,x??t??。 所以Ffx?,x??t??m???m?1?k?m?因为?连续，所以Ffx?,x??t??H?t?，即f?x???x?。

23

在之前的内容里，列举了好多个t?范数的例子，从中任取一个来构造一个压缩映射原理，例如当??a,b??min?a,b?时，f存在唯一的不动点。 证明，

n?1?1?k?????1?kk已知Fx0,xm?t??Fx0,xm?1?kn?t?Fx0,xm???????t

?????minFx0,x?1?k??t?,???,Fxm?1,xm?1?k?kn?1?t?

1???Fxm?1,xm?1?k?km?1?t??Fxm?2,xm?1?k?km?2?t? ?????Fx0,x1?1?k??t?，

所以Gx0?t??Fx0,x1?1?k??t?，因为?t0,使得Fx0,x1?1?k??t0??1，所以

supGx0?t??1，

??所以根据上面所述参考文献中的定理知，f存在唯一的不动点。

5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理

与一般度量空间中的讨论一样，研究了基本的压缩映射原理之后，就要继续研究应用更加广泛的非线性的情况，在不同的条件下会得到不同的压缩映射原理，从之前探究的证明方法入手，证明下面这个非线性的压缩映射原理，该定理取自参考文献[11]。

?是H型的t?范数，定理：设?X,F,??是一个完备的Menger概率度量空间，

并且??t,s?在t?1处连续，函数?i?t?:R??R?满足?i?0??0,lim?in???,?i?t??tn??这三个条件，其中i?1,2,。3映射T:X?X满足的压缩条件为对于，有 ?x,y?X,?t?0FTx,Ty?minFx,Tx??1?t??,Fy,Ty??2?t??,Fx,y??3?t??，

??则压缩映射T存在唯一不动点。

证明

记??t??min??1?t?,?2?t?,?3?t??，则对于?t?0，??t??t，lim?n?t????都

n?? 24

成立。任取x0?X，记xn?Txn?1?????Tnx0?n???，则?xn??X，所以

Fxn,xn?1?t??FTxn?1,Txn?t??minFxn?1,xn??1?t??,Fxn?1,xn??2?t??,Fxn?1,xn??3?t?? ?minFxn?1,xn???t??,Fxn?1,xn???t??,Fxn?1,xn???t?? ?minFxn?1,xn???t??,Fxn?1,xn???t??。

??????下面用反证法证明Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?对于?t?0成立，此时

Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?，

所以Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?，

因为t???t?，所以Fx?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?，所以Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?， 所以Fxn?1,xn?t??Fxn,xn?1???t??????Fxn,xn?1??m?t???1?m???， 所以Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t??1，但这与Fxn?1,xn???t???1矛盾， 所以Fxn?1,xn???t???Fxn,xn?1?t?成立，所以

Fxn?1,xn?t??Fxn,xn?1???t???????Fx0,x1??n?t???1?n???，

所以limFxn,xn?1?t??1，因为Fxn,xn?1???t????Fxn,xn?1???t??t?显然成立，所以下面

n????用数学归纳法证明Fxn,xn?k???t????kFxn,xn?1???t??t?成立，假设k时成立，下面证明k?1时成立，因为Fxn,xn?k?1???t????Fxn,xn?1???t??t?,Fxn?1,xn?k?1?t?，所以

Fxn,xn?k?1???t????Fxn,xn?1???t??t?,Fxn?1,xn?k?1?t?

??Fxn,xn?1???t??t?,Fxn,xn?k?t?

??????????Fxn,xn?1???t??t?,?kFxn,xn?1???t??t?

??k?1Fxn,xn?1???t??t?，

??????即k?1时也是成立的。

下面该证明?xn?是Cauchy列，因为limFxn,xn?1???t??t??1??t?0?，所以

n??Fxn,xn?k????????kFxn,xn?1??????t??1??，

25

??