毕业设计（论文）-基于MATLAB的IIR数字滤波器的设计

天津理工大学中环信息学院2010届本科毕业设计说明书

第三章 IIR数字滤波器的设计方法及过程

3.1 基于脉冲响应不变法的IIR滤波器设计

脉冲响应不变法的设计原理是使得数字滤波器的单位取样响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)。

将模拟滤波器的冲激响应ha(t)进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位取样响应h(n)刚好等于ha(t)的采样值，即：

h(n)?ha(t)t?nT?ha(nT) (3.1)

其中T为采样周期。

若令Ha(s)为模拟滤波器的系统函数，H(z)是数字滤波器的系统函数，显然，Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，而H(z)是h(n)的Z变换。模拟信号的拉普拉斯变换和它的采样序列的Z变换的关系为：

H(z)z?est1?2?????Ha?s?jk? (3.2) Tk????T?可以看出，利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换成数字滤波器，实际上是首先将模拟滤波器的系统函数Ha(s)作周期的延拓，再经过z?est的映射变换，从而得到数字滤波器的

j?系统函数H(z)。假设s平面上，s在jΩ轴上取值，z在z平面内的单位圆周e上取值，可以得到数字滤波器的频率响应H(ej?j?)和模拟滤波器的频率响应H(j?)间的关系为：

1?2????H(e)??Ha?j?jk? (3.3)

Tk????TT? 但是对于任何一个实际的模拟滤波器，它的频率响应不可能是真正带限的。因而将不可避免的出现频率的交叠，即混叠失真。数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应。只有当模拟滤波器的频率响应在超过折叠频率后的衰减很大时，混叠失真才能很小，此时采用脉冲响应不变法设计的滤波器才能满足设计的要求。

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按照脉冲响应不变法的原理，用这种方法设计数字滤波器系统函数H(z)的过程是：由模拟滤波器的系统函数Ha(s)，求出它的拉普拉斯反变换得到脉冲响应ha(t)，然后对其进行等间隔采样：

ha(t)t?nT?ha(nT)?h(n) (3.4)

然后求出h(n)的Z变换，便得到系统函数H(z),即：

Ha(s)?ha(t)?h(n)?H(z) (3.5)

通常按照上述的方法的过程比较繁琐，在实际中，脉冲响应不变法特别适合于模拟滤波器的系统函数能够用部分分式展开式表示的情况。

假设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且M〈N，系统函数可用部分分式表示为：

AkHa(s)?? (3.6)

k?1s?skN其拉普拉斯反变换脉冲响应ha(t)为：

?NAestk??k?1ha(t)???0?kt?0 (3.7)

t?0对ha(t)进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应h(n)：

?NAesnTk??k?1h(n)???0?kt?0 (3.8)

t?0然后对h(n)进行z变换，便得到数字滤波器的系统函数为：

Ak (3.9) H(z)??h(n)z??sT?1n???k?11?ez??nNk由此可知，通过模拟滤波器的系统函数，可以直接求得数字滤波器的系统函数，这种方

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法求取数字滤波器的函数是比较方便的。

在MATLAB中，可以利用公式变换函数变换得到数字滤波器的系统函数。 例如已知模拟滤波器的系统函数为：

1 (3.10) Ha(s)?2s?3s?2要求利用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，其中采样周期T=1。 程序如下：

syms s ht hn hs hz hrad2 hrad1 rad n; hs=1/(s*s+3*s+2); T=1;

ht=ilaplace(hs); hn=subs(ht,n*T); hz=ztrans(hn); hrad1=subs(hs,i*rad); hrad2=subs(hz,exp(i*rad*T)); ezplot(abs(hrad1),[0,2*pi]); hold on;

ezplot(abs(hrad2),[0,2*pi]); grid on;

图3.1 利用脉冲响应不变法设计的数字滤波器和原型滤波器的幅频特性 Fig. 3.1 The amplitude-frequency characteristic of digital filter and prototype filter in use

of impulse response fixation method

图3.1显示了模拟滤波器和数字滤波器的频率幅度响应，数字滤波器的幅度响应是以2π

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为周期的函数。由于混叠失真的影响，数字滤波器和模拟滤波器的幅度频率响应在0～π上有所不同。

由于Ha(j?)在???/T处有明显的非零值，频率交叠使得H(ej?)有明显的失真。

脉冲响应不变法的主要特点是频率坐标的变换是线性变换，即：

???T??/fs (3.11)

因而，如果模拟滤波器的频率响应是充分带限的，即当

???T时，Ha(j?)?0。通

过变换，数字滤波器的频率响应可以不失真地重现模拟滤波器的频率响应，即：

H(ej?)?H(ej?T)?Ha(j?) (3.12)

(其中???T),如果模拟滤波器是线性相位的低通滤波器，通过变换后得到的数字滤波

器仍然是线性相位的。

脉冲响应不变法的另一个特点是时域逼近性能良好，即脉冲响应不变法设计的数字滤波器的取样响应能够较好地模仿模拟滤波器的冲激响应，这在很多场合是非常需要的。

脉冲响应不变法最主要的缺点是由于频谱的周期延拓而产生的混叠失真。因而用这种方法设计的滤波器只适合于充分带限的低通或带通滤波器，而高通和带阻滤波器不宜采用这种方法来设计。

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3.2 基于双线性Z变换法的IIR滤波器设计

冲激响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好地模仿模拟滤波器，但是由于从s平面到z平面的映射z使得设计出来的数字滤波器不可避免地出现频谱的混?esT具有多值性，

叠。如果我们设想。若能够把整个s平面先映射到s1平面的带域(?平面的带域与s平面具有单值对应关系，然后再应用z1???1?)，且使得s1TT??esT把s1平面中的带域映射到z平面

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的整个平面上，且具有单值对应关系。消除多值性，使得s平面与z平面间建立一一对应的单值映射关系，从而消除了频谱混叠现象。这便是双线性变换法的基本思路。

双线性变换法是使得数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器频率响应的一种方法。这种

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