高中数学“三角函数的概念、图象与性质”教学研究

（ a ）只画了第一象限的部分 。 导致这样错误的可能性很多，但大多数学生的错误

原因可能是：误将“ 是第二象限角”与“ ”等价，得到 的错误

结论，这主要是不能很好理解任意角与终边的“多对一”关系所致；或者先将第二象限角作出，将其所在区域或“边界”“折半”，这往往是因为数形结合方法使用不当造成的 。 这些错误都可以通过要求学生理解、落实规范的解决问题程序加以矫正 。

即要求学生：

i ）用不等式或区间形式准确表达 的取值范围，特别应注意边界值的多对一关系；

ii ）通过计算得到 的取值范围，特别注意应对边界值中的“ 运算；

”亦进行相应的

iii ）画出 的终边所在区域，特别注意，可以结合试 K 的取值得到所有满足条件的区域 。

（ b ）区域边界为实线。这些学生，基本掌握了解决问题的方法，但因注意更为准确地将“不等号”中是否包涵“相等”关系与“边界”的虚实建立正确对应关系。在过程性检测时，将更为侧重学生是否会有意识地先解决角 “数”的表达形式，再将

转化为“形“的表达，观察学生的做题过程，我们可以比较清晰

地了解，学生是否有使用数形结合方法的意识，使用过程是否准确，学生是否了解任意角与终边的“多对一”的关系，等等。

第（ 2 ）问的第一小问难度不大，但第二小问常常会导致一些学生的困惑。这道题比较适合在过程性检验中使用，能更好地帮助教师了解学生对任意角与终边“多对一”关系的各层含义的了解程度。

第（ 3 ）问，不仅需要学生对任意角与终边“多对一”关系有比较准确的理解，也需要学生对“周期性”的概念有一定的体悟，同时具备一定的归纳能力，因此，比较适合作为课后探究类的题目请学生根据自己的学习意愿与能力自主完成，教师可据其完成时探究的主动性与完成的质量检测学生的学业水平与学习能力 。

例 1 中的（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）皆可加“写出 （或 等）的取

值范围”这一要求，这样可以更准确地诊断学生出错的原因，但加这一问，有可能会降低题目的难度，所以教师可以根据测试的目标与学生的状况选择设问方式。

例 2 已知函数 。

（ 1 ）求 的值域；

（ 2 ）当 时，求 的值域。

简答：

（ 1 ） ；

（ 2 ） 。

例 2 第（ 1 ）问主要检测学生是否能注意到通过令 新元 的二次函数在有限域

可以将函数表示为关于

上求值域问题，从而可以检测学生对“换元法求函数值

，

域”和“正弦函数的值域”等知识方法的掌握情况 。 如：有些学生将值域错求为 这通常是因为学生没有“换元”的意识，而是仅仅将 些学生将值域错求为

的值域简单叠加而成；有

，这些学生基本掌握了“换元法求值域”的想法，但未意识

到正弦函数的值域对新变元定义域的影响。 第（ 2 ）问除兼有第（ 2 ）问检测的内容外，还可以检测学生对正弦函数单调性的理解程度。如，有些学生将值域错解为 当

时

是非单调函数。

，未注意

例 2 中的两问，作为过程性检测或形成性检测题目皆比较适宜。

上述两道例题，分别是在三角函数的学习过程中，“学习新知”与“新旧结合”类检测题目的示例，教师们可以根据我们教学的重点和学生学习的难点，选择、改编、开发出更

多有助于我们了解学生学习状况、帮助我们落实教学要求、帮助学生矫正、深化对学习内容的认知的题目。

互动对话

【参与人员】 谷丹：北京四中 赵菁：北京四中 纪荣强：北京四中

【话题】

1．如何指导学生更快更准地记住三角函数部分的概念与公式？ 2．单位圆与三角函数图象，哪个更重要？ 3．五点法作图与伸缩变换，哪个更重要？ 4．谈谈函数的周期性。

5．如何在教学过程中渗透函数思想？ 互动话题.ppt

案例评析

【案例信息】

案例名称：《三角函数线》 授课教师：程国红（北京四中） 评析教师：谷 丹（北京四中） 教材版本：人教版 B 教材必修 4

【课堂实录】

【案例评析】

与以往的数学要求相比，新课程标准的核心理念更为强调学生为提供更为开阔的思维空间和发展空间，这就需要我们在教学中给予学生适度的思考时间和表现自己思维内容与思维过程的机会，而课程的设置，往往会使得教师们感到教学进度比以往“紧”了不少，如何在具体的教学过程中克服这一矛盾，是新课程实施过程中每个教师都必须认真对待的课题。程国红老师在这节课上比较好的展现了她对这个问题的解决方法与途径：突出表现解决数学问题的基本思想与方法，从而使得教学过程重点突出，简约流畅。

在教学过程中，程国红老师有几个地方处理得很好：

1 ．探究的途径突出、鲜明：程老师牢牢把握了利用单位圆将三角函数“简约”为“一个变量”的想法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，其中“最简化”、“统一”的要求，在教学过程中被反复强调着，而这样的理念或思想，既能体现本节课数学方法的特点，也在数学教学的全过程中占据着重要的地位，具有普适性。

2 ．探究的过程有一定的层次性：可以看到，在探究过程中，“引入单位圆”、“确定正弦函数线”、“确定正切函数线”这三个环节中各有各的难点，程老师在处理这些难点时也各有不同：引入单位圆，学生比较难以想到解决问题的方法，程老师更多的是通过自己的讲解，将引进“单位圆”的目的、作用清晰准确表述出来；对正弦函数线，学生可以有几何的直观感受，但可能很难表述一些诸如“有向线段”、“有向线段的数量”等等比较数学化的概念，程老师就随时补充这些概念的说法，同时将学生的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来，自然而然地突出了探究与确定“三角函数线”的形成过程与基本方法，在这个阶段，程老师给学生提供了更为开阔一些的空间；到研究“正切函数线”时，学生则自觉或不自觉地在用探究“正弦函数线”的方法，解决新的问题，程老师只是在关键之处略加提醒、点拨，而且“点拨”的重点，也仅仅是突出基本思想方法，重申“最简”与“统一”的原则而已。

3 ．探究过程中，对学生的评价比较得当、适度：教师在课堂上对学生探究过程评价，往往直接影响到学生参与探究的热情与质量。程国红老师比较注意挖掘与肯定学生在回答问题的过程中比较有价值的地方，适当地为学生越过障碍搭桥垫砖，使得课堂气氛活而不散，热而不乱，也保证了课堂的师生对话、交流能顺畅地进行。

在本节课教学过程中，也有一些遗憾。比如，在最开始提出能否“用一个量来刻画正弦值”，问题本身不够明确，当一位学生按他的理解，试图以函数思想来解决问题（尽管似