2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷

故答案为：．

的定义域为：（﹣

19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝

∞，﹣6）∪（2，+∞） 令t＝x2+4x﹣12，则

由对数函数的性质可得：函数

，

在定义域内是减函数，

由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），

再根据复合函数的单调性是“同增异减”， 所以函数

的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．

故答案为：（﹣∞，﹣6）．

20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ， 则

?

＝（

﹣

）（?

﹣

）＝

?

﹣

?

﹣

?

+

2

＝××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos（120°﹣θ）+1 ＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+＝﹣（cosθ+

sinθ）

sinθ）+1

＝﹣sin（θ+30°），

因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]， 所以sin（θ+30°）∈[，1]， 所以

?

的取值范围是[，]．

故答案为：[，]．

三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演

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算步骤.）

21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点图象中与点P最近的最高点是∴A＝5，∴ω＝2

∴y＝5sin（2x+φ），将解得φ＝令k＝0， 则φ＝

）

≤

+2kπ，k∈Z

+2kπ，k∈Z

代入得5＝5sin（

+φ）

，即T＝π

．

，

∴y＝5sin（2x（2）令﹣则﹣

+2kπ≤2x

+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

+kπ，

+kπ），（k∈Z）

（其中a＞1），可得

＞0，即

＜0，

∴函数的增区间为[﹣

22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝loga

即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）． （Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝﹣f（x）， 故函数为奇函数． （Ⅲ）由f（x）＞0 可得

＞1，即

＜0，2x（x﹣1）＜0，

＝﹣

＝

解得 0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．

23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直， ∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0?sinθ＝2cosθ． ∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1?cos2θ＝． ∵θ∈（0，

），∴cosθ＝

，sinθ＝

．

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（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝sinθcosφ﹣cosθsinφ＝

得，

，

cosφ﹣＝0．

?sinφ＝2cosφ﹣

∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2 解得cosφ＝∵0＜φ＜

或cosφ＝﹣，∴cosφ＝

cosφ+＝1?5cos2φ﹣2 ， ．

解法二：∵0＜θ，φ＜所以cos（θ﹣φ）＝

，∴﹣＜θ﹣φ＜

＝

． ．

故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ） ＝

×

+

×

＝

．

24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝；令3x＝4，得x＝． 则当

时，

y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x 当

时，

当

时，

＝24x﹣9.6

即得

（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增， 当x∈当x∈当x∈

时，y≤f（）＜26.4 时，y≤f（）＜26.4

时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5

所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70元

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乙户用水量为3x＝4.5吨， 付费S2＝8.7元

25．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1?（）x+（）x． 令t＝?（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝

+，

∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，

故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数， 则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．

xx

故有﹣3≤（fx）≤3，即﹣3≤1+a（?）+（）≤3，即﹣4﹣

≤a≤2﹣，

∴[﹣4?2x﹣]≤a≤[2?2x﹣

]．

]的最小值为2

∴当x＝0时，[﹣4?2x﹣﹣1＝1， 故有﹣5≤a≤1， 即a的范围为[﹣5，1]．

]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2?2x﹣

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