北京工业大学研究生《概率论与数理统计》2013-2014考题

t0.025(n?s)?t0.025(12)?2.1788

t0.025(16)SE(112?)?2.17880.6848??1.1403， njnk5故置信区间为：

7.98-6.4?1.1403?1.58?1.1403?(0.4397,2.7203). 五、（15分）顾客依Poisson过程到达某商店，速率为??4人/小时。已知商店上午9：00开门。

（1）试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。 （2）试求到10：00时仅到两位顾客的条件下，下午1：00时已到达10位顾客的概率；

（3）试求此Poisson过程{N(t),t?0}的协方差函数CN(s,t)，写出推导过程。

解:令t的计时单位为小时，并以9：00为起始时刻。 (1)

15151P{N()?1,N()?5}?P{N()?1,N()?N()?4}222221?4?1 2e?4??4?24(4?2)1024?102}{e?{}?e?0.01551!4!3

(2)

P{N(4)?10,N(1)?2}P{N(1)?2}P{N(1)?2,N(4)?N(1)?8}P{N(1)?2}P{N(4)?N(1)?8}??P{N(1)?2}P{N(1)?2}P{N(4)?10|N(1)?2}?(4?3)8e?4?3??0.06658!

(3)CN(s,t)=?min{s,t},s,t>0,过程略。

六、（15分）设?Xn,n?0?为时齐马氏链，状态空间I??0,1,2?，一步转移概率矩阵为

?0.1?P=?0.9?0.1?0.20.10.80.7??0? 0.1??初始分布P（X0=0）=0.3，P（X0=1）=0.4，P（X0=2）=0.3。

(1)求概率P（X0=0,X1=1,X2=2）；

(2)求概率P（X0=1| X1=0, X2?2）；

(3)判断?Xn,n?0?是否为遍历的，请说明理由；若是遍历的，求其平稳分布。 解：

?0.26P2=??0.18??0.740.60.190.180.14?0.63?? 0.08??

（1）

P(X0?0,X1?1,X2?2)?P(X2?2|X1?1)P(X1?1|X0?0)P(X0?0)?0.63?0.6?0.3?0.1134

P(X0?1|X1?0,X2?2)?（2）

P(X0?1,X1?0,X2?2)P(X1?0,X2?2)?P(X2?2|X1?0)P(X1?0|X0?1)P(X0?1)0.14?0.18?0.4??0.24P(X2?2|X1?0)P(X1?0)0.14?0.3

（3）P2 皆正元 ，故遍历。

设平稳分布为(?1,?2,?3)，由(?1,?2,?3)P=(?1,?2,?3)及?1??2??3?1可

817963,,)。 得平稳分布为(223223223

1七、（15分）设Z1和Z2是独立同分布的随机变量。P(Z1??1)?P(Z2?1)?。记

2X(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，t?R。证明X(t)是平稳过程。

11解：由已知，EZ1?EZ2??1??1??0，

22E(X(t))?E(Z1cos?t?Z2sin?t)?cos?tEZ1?sin?tEZ2?0

112?(?1)2??12??1， 又因为：EZ12?EZ222由Z1,Z2的独立性，EZ1Z2?EZ1EZ2?0， 故得：

RX(t,s)?E(Z1cos?t?Z2sin?t)(Z1cos?s?Z2sin?s)2?E(Z12cos?tcos?s?Z2sin?tsin?s?Z1Z2(cos?tsin?s?sin?tcos?s))

?cos(?(t?s))

s=t+tau---Rx=cos(@(tau)) Rx(t,t+tau)=E[X(t)X(t+tau)]

=E(Z1cos@t+Z2sin@t)(Z1cos@(t+tau)+ Z2sin@(t+tau)) =

所以，X(t)是平稳过程。