最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA′+EC＝EF；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号） （1）①解：旋转角为105°． 理由：如图1中，

∵A′D⊥AC， ∴∠A′DC＝90°， ∵∠CA′D＝15°， ∴∠A′CD＝75°， ∴∠ACA′＝105°， ∴旋转角为105°．

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM． ∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°， ∴∠CEA′＝120°， ∵FE平分∠CEA′， ∴∠CEF＝∠FEA′＝60°， ∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE， ∴△FOC∽△A′OE， ∴， ∴，

∵∠COE＝∠FOA′， ∴△COE∽△FOA′， ∴∠FA′O＝∠OEC＝60°， ∴△A′CF是等边三角形， ∴CF＝CA′＝A′F，

∵EM＝EC，∠CEM＝60°， ∴△CEM是等边三角形， ∠ECM＝60°，CM＝CE， ∵∠FCA′＝∠MCE＝60°， ∴∠FCM＝∠A′CE， ∴△FCM≌△A′CE（ASA），

∴FM＝A′E，

∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．

（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′， ∴△A′EF≌△A′EB′， ∴EF＝EB′，

∴B′，F关于A′E对称， ∴PF＝PB′，

∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，

在Rt△CB′M中，CB′＝BCAB＝2，∠MCB′＝30°， ∴B′MCB′＝1，CM， ∴AB′．

∴PA+PF的最小值为．

10.（2019秋?朝阳区校级月考）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点

F，H在矩形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG?DE；

（2）若AB?3，BC?4，则菱形EFGH的面积最大值是

75 ． 8

（1）证明：Q四边形ABCD是矩形， ?AD//BC，

??FBG??HDE， Q四边形EFGH是菱形，

11?FG?EH，?EFG??EHG，?GFH??EFG，?EHF??EHG，

22??GFH??EHG， ??BFG??DHE，

??FBG??HDE?在?BFG和?DHE中，??BFG??DHE，

?FG?EH???BFG??DHE(AAS)， ?BG?DE；

（2）解：当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，如图所示： Q四边形EFGH是菱形，

?EG?BD，BE?DE?BG， Q四边形ABCD是矩形，

??BAD?90?，

设BE?DE?x，则AE?4?x，

在Rt?ABE中，由勾股定理得：32?(4?x)2?x2， 解得：x?25， 8257?， 88172875； 8?CG?AE?4??菱形EFGH的面积最大值?矩形ABCD的面积??ABE的面积??CDG的面积?3?4?2???3?故答案为：

75． 8