2018年黄石市中考数学试题含答案解析

分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴

=

，

∴==；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，

则MN分别是BC、AC的中点， ∴MN∥AB，且MN=AB， ∴=

=，且S△ABM=S△ACM，

∴=， 设

=a，

由（2）知：

=

=×=，

=

=a，

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则==+=+a，

而==a，

∴+a=a， 解得：a=， ∴

=×=

．

【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．

25．（10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标； （3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面积的最小值．

【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；

2（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1），作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得

=，

即==据此求得x0的值即可得；

（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于

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x的方程可得2

，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）、QN=y2=

（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM?QN=DM?DN=16，即△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；

=，从而得

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG?MN列出关于k的等式求解可得．

【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1， 解得：a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；

（2）由（1）知点D坐标为（1，0）， 设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0）， 则y0=（x0﹣1）2，

如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDO+∠CDF=90°， ∴∠BDO=∠DCF， ∴△BDO∽△DCF， ∴

=

，

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∴==，

解得：x0=17，此时y0=64， ∴点C的坐标为（17，64）．

（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0）， 由

，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，

∴，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，

如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则PM=y21=（x1﹣1），QN=y2=（x2﹣1）2， DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1， ∴PM?QN=DM?DN=16， ∴

=

，

又∠PMD=∠DNQ=90°， ∴△PMD∽△DNQ， ∴∠MPD=∠NDQ， 而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

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