2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题37 平面向量(解析版)

专题37 平面向量

一、平面向量的相关概念

1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；

r03、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；

4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．

二、实数与向量相乘的运算

rrr设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka．

rrrrr1、 如果k?0，且a?0，那么ka的长度ka?kga；

rrrrrka的方向：当k > 0时ka与a同方向；当k < 0时ka与a反方向． rrrr2、 如果k = 0或a?0，那么ka?0．

三、实数与向量相乘的运算律

设m、n为实数，则

rrrrrrrrr(1)mna??mn?a； (2)?m?n?a?ma?na； (3)ma?b?ma?mb．

????四、平行向量定理

rrrr 如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b?ma． 五、 单位向量

rr单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e为单位向量，则e?1．

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．

rr对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作a0．

rrrr1r由实数与向量的乘积可知：a?aa0，a0?ra．

a六、平面向量的加减法则

1、几个向量相加的多边形法则； 2、向量减法的三角形法则； 3、向量加法的平行四边形法则． 七、向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．

rrrrrr3r?r5r?如2a?5b、a?3b、2a?3b、?a??a?b?等，都是向量的线性运算．

53??rrrrrr一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a、b表示，并且

??rrr通常将其表达式整理成c?xa?yb的形式，其中x、y是实数．

八、向量的合成与分解

rrrrrrrr如果a、b是两个不平行的向量，c?ma?nb(m、n是实数)，那么向量c就是向量ma与nb的合成；

rrrrrrrr也可以说向量c分解为ma、nb两个向量，这时，向量ma与nb是向量c分别在a、b方向上的分向量，rrrrrma?nb是向量c关于a、b的分解式．

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．

【例1】(2020?普陀区一模)下列说法中，正确的是( ) rrA．如果k?0，a是非零向量，那么ka?0 rrB．如果e是单位向量，那么e?1

rrrrrrC．如果|b|?|a|，那么b?a或b??a

rrrrrD．已知非零向量a，如果向量b??5a，那么a//b

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．

rrrr【解答】解：A、如果k?0，a是非零向量，那么ka?0，错误，应该是ka?0．

rrrB、如果e是单位向量，那么e?1，错误．应该是|e|?1．

rrrrrr|b|?|a|、如果，那么或b?ab??a，错误．模相等的向量，不一定平行． CrrrrrD、已知非零向量a，如果向量b??5a，那么a//b，正确．

故选：D．

uuurruuurr【例2】(2020?闵行区一模)如图，在?ABC中，AD是边BC上的中线，设向量AB?a，AC?b，如果用向

uuuruuurrr量a，b表示向量AD，那么向量AD可以表示为 ．

【分析】如图，延长AD到E，使得DE?AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三uuur角形法则求出AE即可解决问题．

【解答】解：如图，延长AD到E，使得DE?AD，连接BE，CE．

QAD?DE，BD?CD， ?四边形ABEC是平行四边形，

uuuruuurr?BE?AC?b， uuuruuuruuurrrQAE?AB?BE?a?b，

uuur1uuur1r1rAD?AE?a?b222 ?

rrrrr1．(2020?虹口区一模)已知a、b和c都是非零向量，在下列选项中，不能判定a//b的是( )

rrA．|a|?|b|

rrC．a?b?0

rrrrB．a//c，b//c

rrrrrD．a?b?2c，a?b?3c

【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．

rr【解答】解：A、该等式只能表示两a、b的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；

rrrrrrB、由a//c，b//c可以判定a//b，故本选项不符合题意．

rrrrrrC、由a?b?0可以判定a、b的方向相反，可以判定a//b，故本选项不符合题意．

rrrrrrrrr1rrr5rD、由a?b?2c，a?b?3c得到a?c，b??c，则a、b的方向相反，可以判定a//b，故本选项不

22符合题意． 故选：A．

uuurruuurr2．(2020?静安区一模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设OA?a，OB?b，下列

式子中正确的是( )

uuurrrA．DC?a?b

uuurrrB．DC?a?b

uuurrrC．DC??a?b uuurrrD．DC??a?b

uuur【分析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB即可解决问题．

【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形， ?AB//CD，AB?CD，

uuuruuuruuurQAB?AO?OB uuuruuurrr?DC?AB??a?b，

故选：C．

rrrrr3．(2020?崇明区一模)已知c为非零向量，a?3c，b??2c，那么下列结论中错误的是( ) rrA．a//b

r3rB．|a|?|b|

2rrrrC．a与b方向相同 D．a与b方向相反

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．

rrrr【解答】解：Qa?3c，b??2c， 3rr?a??b，

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