第四节 统计案例-高考状元之路

第四节 统计案例

预习设计 基础备考

知识梳理 1．回归分析

在具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中，回归方程的截距和斜率的最小二乘估计分

??别为b?(xi?1ni?x)(yi?y)?? 其中x? ,y? 称为样本点的中心，线,ai?(xi?1n?x)2性回归方程为

2．残差分析

(1)残差：对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),它们的随机误差为ei.?yi?bxi?a,i?1,2,?,n,

??a?i?yi?y?i?yi?b?,i?1,2,?,n.e?i称为相应于点(xiyi)的残差． 其估计值为exi(2)残差平方和

(3)相关指数R?1?2?(y1?1ni?1ni?i)?yi22,r??xyii?1ni?nxyn

?(y?y)n12?(xi?nx(?yi2?ny2i?1i?1R2越大，意味着残差平方和 ，即模型的拟合效果 R2越小，残差平方和 ，

即模型的拟合效果 在线性回归模型中，R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 越近接于1，表示回归的效果

223．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出的两个分类变量的 称为列联表．假设有两个分类变量X和y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2×2列联表）为2×2列联表

n(ad?bc)2? 构造一个随机变量K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2其中n? 为样本容量． (3)独立性检验：

利用随机变量 来判断“两个分类变量 ”的方法称为独立性检验．

典题热身

1．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 ( ) A．残差 B．残差的平方和 C．随机误差 D．相关指数R 答案：B

22．对于事件A和事件B，通过计算得到K的观测值k?4.514,下列说法正确的是

2A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A和事件B有关 B．在犯错的概率不超过0.05的前提下认为事件A和事件B有关 C．在犯错的概率不超过0. Ol的前提下认为事件A和事件B无关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和事件B无关 答案：B

3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )

A．模型1的相关指数R为O.98 B．模型2的相关指数R为0.80 C．模型3的相关指数R为0.50 D．模型4的相关指数R为0.25 答案：A

4．已知x，y之间的数据如下表所示，则回归直线过点( )

x y 1 2 3 4 5 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 22222A.(0,0) B.(2,1.8) c.(3,2.5) D.(4,3.2)

答案：C

5．（2011．莱芜模拟）在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调 查了l 671人，经过计算K的观测值

2k?27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 答案：有关

课堂设计 方法备考

题型一 线性回归分析

【例1】假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

x y 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7．O 已知

?xt1?52i?90,?y?140.8,?xiyi?112.3,

2ii?1i?15579?8.9,2?1.4,n?2?3时,r0.05?0.878.

(1)求x,y?

(2)对x，y进行线性相关性检验；

(3)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程； (4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？

题型二 非线性回归分析

【例2】下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示相应的年均价格，求y关于x的回归方程. 使用年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 年均价265194149108 格y(美1 元）

3 4 7 765 538 484 290 226 204 题型三 独立性检验

【例3】 (2011.山东模拟)在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关．你所得到的结论在什么范围内有效？

技法巧点

(1)线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只需套用公式求r,R2再作判断即可． (2)独立性检验没有直观性，必须依靠K的观测值k作判断．

2失误防范

1．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R才是判断拟合效果好坏的依据．

2．独立性检验的随机变．量K?2.706是判断是否有关系的临界值，K?2.706应判断为没有充分证据显示X与y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断

222随堂反馈

1．(2009．临沂模拟)在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据{xi,yi},i?1,2,?,n;③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够作出变量x，y 线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是 ( )

A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③① 答案：D

??2x?1,而试验得到一组数据(x，y)是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方2．已知回归方程y和是 ( )

A.0.01 B.0.02 C.0.03 D.0.04 答案：C

3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到下表：

男 女 理科 13 7 文科 I 10 20 已知p(K2?3.841)?0.05,P(K2?5.024)?0.025.

50?(13?20?10?7)2?4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可根据表中数据，得到K?23?27?20?302能性为

答案：5%

高效作业 技能备考

一、选择题

1．（2011．江西高考）变量X与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与y相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变量y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则 ( )

A.r2?r1?0 B.0?r2?r1 C?r2?0?r1 D.r2?r1

答案：C

2．（2011．深圳模拟）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

甲 乙 丙 丁 r O．82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性 ( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：D

3．（2011．巢湖月考）下列说法：

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，方差不变；

??3?5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ②设有一个回归方程y?x?a??b?.必过点(x,y); ③线性回归方程y④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；

⑤在一个2×2列联表中，由计算得K?13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%． 其中错误的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C

4．（2011．菏泽月考）下面是2×2列联表：

2 Xl Yl a Y2 21 合计 73