人教版 高中数学(选修2-3) 第一章 计数原理单元测试题

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第一章 综合测试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )

A．从东边上山 C．从南边上山 答案 D

2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 答案 C

解析 由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值1的原象：因为y＝x，当y＝1时，x＝1或x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值4的原象，因为y＝4时，x＝2或x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9个．选C.

3．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )

A．C5 C．5 答案 B

4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．70 答案 B

5．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )

A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 答案 C

解析 当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A3种，A与A，B，C以外

3

22

2

2

B．从西边上山 D．从北边上山

B．2 D．A5

2

5

的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A3A4A2种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A3A4A2＝96种编排方法．

6．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )

A．2 520 B．2 025 C．1 260 D．5 040 答案 A

解析 先从10人中选出2人承担甲任务有C10种选法，再从剩下的8人中选出2人分别承担乙、丙任务，有A8种选法，由分步乘法计数原理共有C10A8＝2 520种不同的选法．故选A.

7．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )

A．78种 C．120种 答案 A

解析 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5！＝120种停法．

B．72种 D．96种

2

2

2

2

312

312

A停在3道上的停法：4！＝24(种)；B种停在1道上的停法：4！＝24(种)； A、B分别停在3道、1道上的停法：3！＝6(种)．

故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选A.

8．已知(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，则自然数n等于( )

A．6 C．4 答案 C

解析 令x＝1，得2＝16，则n＝4.故选C.

9．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A．30种 C．5种 答案 B

解析 分两步完成：第一步，其余3人排列有A3种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A4种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A3A4＝144种．

10．已知?x－?展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的

x3

33

3

n2nB．5 D．3

nB．144种 D．4种

??

a?8

?

和是( )

A．2

8

B．3

8

C．1或3 答案 C

解析 Tr＋1＝(－a)C8x4

4

8

D．1或2

8

rr8－2r，令8－2r＝0?r＝4.

∴T5＝C8(－a)＝1 120，∴a＝±2.当a＝2时，和为1； 当a＝－2时，和为3.

11．有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其他任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )

A．168 C．56 D．42 答案 D

解析 分两类：①甲运B箱，有C4·C4·C2种；②甲不运B箱，有C4·C3·C2. ∴不同的分配方案共有C4·C4·C2＋C4·C3·C2＝42种．故选D.

12．从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2014年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )

A．30 C．630 答案 A

解析 分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从5名男教师中选出两名，且该女教师只能在室内流动监考，有C2·C5种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有C2·C5种选法，且再从选中的两名女教师中选一名作为室内流动监考人员，即有C2·C5·C2共10种选法，∴共有C2·C5＋C2·C5·C2＝30种，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知(x＋2)的展开式中共有5项，则n＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答)

答案 4 16

解析 ∵展开式共有5项，∴n＝4，常数项为C42＝16.

14．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种． 答案 72

解析 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有A3·A4＝72(种)． 15．已知(x＋1)(ax－1)的展开式中含x项的系数是20，则a的值等于________． 答案 0或5

16．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)

6

2

3

3

2

44

1

2

2

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

8

B．84

B．180 D．1 080

n答案 14

解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有2－2＝14个．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．

解析 分两类：第一类，买5本2元的有C58种；第二类，买4本2元的和2本1元的有C48×C23种．故共有C58＋C48×C23＝266种不同的买法种数．

18．(12分)4个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？

解析 依题意知，取出有4个球中至少有2个红球，可分三类：①取出的全是红球有C4种方法；②取出的4个球中有3个红球的取法有C4C6；③取出的4个球中有2个红球的取法有C4C6种，由分类计数原理，共有C4＋C4·C6＋C4·C6＝115(种)．

19．(12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：

(1)能组成多少个不同的四位数？

(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？

(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示) 解析 (1)四位数共有C3C3A4＝216个．

(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C3C3A3A2＝108个． (3)两个偶数不相邻的四位数有C3C3A2A3＝108个．

20．(12分)已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而5

且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．

6

5

解析 由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，

6Cn2＝2Cn·2，??

∴?kk5k＋1

k＋1

Cn2＝Cn·2，?6?

kkk－1

k－1

n2222

2232

224

22

4

3

1

2

231

4

4

解得n＝7.

∴展开式中二项式系数最大两项是：

3442T4＝C37(2x)＝280x与T5＝C7(2x)＝560x.

3

2

21．(12分)某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法？

解析 6人中有2人返回原单位，可分两类： (1)2人来自同科室：C3C2＝6种；

(2)2人来自不同科室：C3C2C2，然后2人分别回到科室，但不回原科室有3种方法，故有C3C2C2·3＝36种．

由分类计数原理共有6＋36＝42种方法． 22．(12分)10件不同厂生产的同类产品：

(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？

(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？

解析 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A8＝1 680(或C8·A4)(种)．

(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A6种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A8种方法，共有A6·A8＝50 400(或C8·A6)(种)．

4

6

4

2

42

4

4

4

211

21111