1.3.4 蚂蚁大象一样重 二次根式的认识 - 图文

1.3.4 二次根式的认识

○. 蚂蚁大象一样重

一．三个概念

定 义 二次 a(a?0). ①a必须≥0; 根式 ②a可是数,也可是式. ①被开方数中不含能开得尽方最简 的因数或因式; 二次 ②被开方数中不含分母; 根式 ③根号不在分母中. 注 意 二次根式x不一定是无理数, ?是无理数,但不是二次根式. 被开方数的因数是整数; 因式是整式,每个因式的指数只能是1; 二次根式化简后不一定再是根式,如4. 几个二次根式化成最简二次根如果最简二次根式a与二次根式同类 2式后,如果被开方数相同. cb是同类二次根式,则b=ka(k是二次 ①必须化为最简二次根式; 非零有理数). 根式 ②与根号外的数、式无关. ?2例1

不是二次根式;

4,

x2?1都是二次根式；

x?1当x≥-1时是二次根式.

12,,8,a2b2a例2 a>0,b>0时, 可化简为 例3

2,1,82都不是最简二次根式,

112,2a,22,ab. 2a都是同类二次根式;

a a>0时,,

1a,

ab2(b≠0)也是同类二次根式.

1．当a为任意实数时,下列各式中哪些一定是二次根式?

2. 若下列各式是二次根式,式中字母应满足什么条件?

3. 下列各式中哪些是最简二次根式?

4. 把下列二次根式化为最简二次根式:

83＝ ;

7.2＝ ;

2a＝ ;

ba＝ ;

(1?x)(x2?1)8a3＝ ;

18a2b＝ ;c4?c2＝ ;5. 将下列二次根式,按同类二次根式分类:

＝ .

6. 若最简二次根式a与27是同类二次根式,则a= ;

若二次根式a与28是同类二次根式,则a= ;

若3a?b28与最简二次根式2a?b?6是同类二次根式,则a= ,b= .

二. 两个性质 比较它们的异同,注意成立的条件,并会正反两方面使用.

例1 判断:下列等式中正确的有 ③,⑤ . ① ④

a2?b2?a?b,②a2b?ab(b?0),③a4b?a2b(b?0),

b6?b3,⑤b4?b2.

例2 写出下列等式成立的条件:

x(x?1)?x?x?1. x≥1 ;x2?4x?4??x?2. x≤-2 .

1. 判断:下列等式中正确的有 . ①

a2?b2?a?b,②

a1?ab(a?0),③a3b4?ab2a,④x2k?xk,⑤x4k?x2k. bb 2. 求下列等式成立时字母的取值范围:

①3x?3x2. ;3x??3x2 . x2y2?xy ;②(?m)2??m. ;(?m)2?m. .3．求下列函数自变量的取值范围: ① y=xx2y2??xy .

4p2?2p. ;4p2??2p. .

2x?1++

?x ； ② y=a212?x . +(a)2= .

4. 直接写出结果:+(a)2= ;(?a)2+(?a)2= ;?a25. 设ab≠0,等式a2b3??abb成立的条件是 . 6*. 等式a2?4??a2a?b?1成立的条件是 .

三. 二次根式的化简 1. 字母取负问题: 例 ①a?1a= ??a ; ②?a3?a?1a= (1?a)?a .

2. 条件化简: 例 a>3时,(3?a)2= a-3 ; (5?2a)2= 2a-5 . 3. 讨论化简: 例 作函数y=x2?x2?2x?1的图象.

x?0??2x?1?0?x?1. 解: y=?1?2x?1x?1?

1. 化简下列二次根式: x?

1x

= ; (a?b)1?4(a?b)2b?a= .

2. 若|x|<1,x2?2x?1?x2?4x?4可化简为 . 若x<-1,x2?2x?1?x2?4x?4= .

3. 当a>2b时,化简(a?b)2?2(b?a)2?(2b?a)2= . 4. 化简? 5. 求A=1xy2

?ab5.

3x4y2?1xy212x2y4的值.

6. 若x=ab,y=a2+b2,化简(x?y)2?(x?y)2.

7. 作函数y=4x2?4?4x?x2的图像.

8*. 若ab<0,a2+b2=a2b2,化简:a 1?1a2?b1?1b2.