浅析函数连续与一致连续性的判定论文

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题目名称：浅析函数连续与一致连续性的判定 学生姓名： 学号： 系 部： 数学与应用数学系 专业年级： 应用数学专业 指导教师：

2008年 5 月 9 日

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目 录

摘 要 ................................................................. 1 关键词 ............................................................... 1 Abstract ............................................................. 1 Key words ............................................................ 1 1前言 .................................................................... 2 2函数 .................................................................... 2

2.1 函数连续性的定义 ................................................. 2

2.2 函数在区间上的连续性判定 ......................................... 3 2.3 判断函数的连续性常用方法 ......................................... 4 2.4 初等函数的连续性 ................................................. 6 3 函数的一致连续性 ....................................................... 7

3.1 函数一致连续性定义 ............................................... 7 3.2 函数在任意区间上的一致连续性的判定 ............................... 8 3.3 两种常用的判别方法 ............................................... 9 3.4 函数一致连续性的几个条件 ........................................ 11 4 函数连续与一致连续性的关系 ............................................ 14 5 总结 .................................................................. 16 参考文献： .............................................................. 17 致 谢 ................................................................... 17

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浅析函数连续与一致连续性的判定

摘 要:本文首先从连续函数的定义和连续性定理出发,给出了各种区间上函数连续的条件,并且

总结了判断函数连续性的常用方法。然后给出了一致连续函数的定义及相关定理。从G﹒康托尔定理出发,给出了两个关于一致连续性的十分重要的判别方法,并说明了使用一致连续性的充要条件来讨论函数在区间上的一致连续性的方法。最后我们从两者的概念出发,深刻地揭示了它们之间的内在联系,更加深入地理解和掌握函数的连续性与一致连续性。

关键词: 初等函数；区间；连续;一致连续;非一致连续

Simply analyze the judgment of function’ continuity and

consistent continuity

Abstract: Firstly, this article is proceed from the definition of conditions of continuous function and continuity theorem, providing with kinds of function continuously in intervals, and also it summarized the conventional methods of judge function continuity. Then it gives out the definition and some relevant theorems of consistent function. With the G.. cantor theorem, it gives two vital important discriminate methods with were concerned with consistent continuity and it illustrated abundant conditions of using consistent continuity functions in interval. Finally, starting from these two conceptions, it reveals their inner relation profoundly and it makes us understand master continuity and consistent continuity of function more penetrate.

Key words: elementary function; interval; continuous; consistent continuous; no consistent

continuous

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1前言

在高等数学中,连续函数是一类重要的函数,在其中占有重要的地位,因此我们对函数连续性的了解是有益和必要的。而函数的一致连续性是数学分析中的一个重要的概念,是一个公认的难点。函数在区间上的连续与一致连续性是两个截然不同的概念,前者是一个局部性概念,后者具有整体性质,它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于一致连续来说,不仅要求函数在区间上的每一点保持连续,还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。显然,一致连续要比连续条件强。本文将对函数的连续与一致连续进行深入的探讨。通过对两者的区别与联系让我们对两者有更明确的认识。本文并对判断函数连续与一致连续给出重要的判定方法。

2函数的连续性

2.1 函数连续性的定义

定义?1?2.1.1设函数f(x)在点x0的某个领域内有定义,如果limf(x)=f(x),则称

x?x0f(x)在点x0连续。

显然,“函数f(x)在点x0连续可用方式?-?方式”表述为:

???0，???0，?x?x?x0???:f(x)?f(x0)??.

从定义看出,f(x)“在点x0连续”只是“在点x0的函数极限存在”即limf(x)=f(x0),

x?x0同时可以知道,此反映的是函数f(x)在一点领域中变化,因而只是局部性的概念。 从上述对函数连续性的定义我们可以得到以下几个定理。

定理?2?2.1.1设f(x)定义在E?R上,x0?E，对任意的点列?xn??E,收敛于点x0,如果limf(x)=f(x0)，则f(x)在x0连续。

n??证明:

由已知??xn??E，由于limxn?x0，则对上述的??0，?N?0，当n?N时有

n??fx(由)柯西定义有xn?x0??，即xn??(x0,?)?E，因为limn(?)f0x，

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