全等三角形难题突破

【典型例题讲练 重点例题：

（一） 截长补短型

如图,RT△CDA ≌RT△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD与∠MDN满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。 C C C

N N

N M M A B M A B A B D ③ ② D D ①

(二)、中点线段倍长问题：

如图△ABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。当AE=AF时，求证BE=CF。

F A E

C B D

1

（三），蝴蝶形图案解决定值问题：

1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB,D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F。

（1） 求证：DE=DF.（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不变，

DE=DF成立吗？画图说明。 A

E

D H F B C

2在△ABC中，AB=AC,AD和CE是高，它们所在的直线相交于H。 (1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD.

A A E H C B

B C D

(2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

2

3，如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D.求证BE=2CD.

（2） 连接AD，求证：∠ADB=45°. A A D D E E

B C C B

(四）角平分线与轴对称 1、（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，点E为AB上一点，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延长线于P，求∠PAC+∠PBC的度数。

（2）如图②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。（1）中结论是否成立，说明理由。 P P

A A

D D E E B B C C

3

（五）等腰直角三角形，等边三角形

1、如图①OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。(1)求C点的坐标。 y y y A O E O H A O x x x F C D B ① P ② ③ G

(2)如图②，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以

P点为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D点作DE⊥x轴于E点，求OP-DE

的值。

（3）如图③，已知点F坐标为(-4，-4)，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G(o,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,o)，当G点在y轴负半轴沿负方向运动时，求m+n的值。

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