《高等数学》授课教案

?23?x,x?1,则f(x)在x?1处 A 。 5、设f(x)??32??x,x?1A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在 C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在

f(x)?f(a)?A（A为常数），试判断下列命题是否正确。[全部] 6. 若limx?ax?a（1）f(x)在点x?a 处可导； （2）f(x)在点x?a 处连续； （3）f(x)?f(a)= A(x?a)?o(x?a)； 数学认识实验： 两个重要极限的图像认识 sinx?1 1、极限：limx?0xY-1-0.50.9750.950.9250.90.8750.850.5

12、极限：lim(1?)x?e

x??xY2.72.652.62.552.52.45

3、等价无穷小的直观认识：（x?0,x~sinx~tanx）

总学时64学时（XRG）

200400600800 Y21-3-2-112-1-2

第三讲 导数的概念（二）

教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。

重 难 点：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程） 教学程序：复习导数定义—>基本导数公式—>例子（求导数）—>导数的几何意

义—>例子（切线方程）—>导数的物理意义（例子）

授课提要：

一、基本初等函数的导数

例1、求y?x2的导数？（由导数的定义推导）

于是我们有公式：(C)??0;(x?)???x??1;(sinx)??cosx 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：

1(cosx)???sinx;(lnx)??;(ex)??ex

x二、导数的运算法则（u,v为可导函数） 1、代数和：(u?v)??u??v? 2、数 乘： (ku)??ku? 例2、求下列函数的导数

1(1) y?2x2?3x?1 (2) y?x2? (3) y?3sinx?1 (4) y?x2x

x例3、求函数在给定点的导数值？

(1) y?tanx,x?? (2) y?2ex?3x?2,x?1

总学时64学时（XRG）

三、导数的几何意义（作图说明）

结论：f?(x0)表示曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。

1例4、求曲线y?x?2在点(1,0)处的切线方程？

xf(1)?f(1?x)?1，求曲线y=f(x)在点例5、设f(x)为可导函数，且limx?02x（1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义

结论：设物体运动方程为S?s(t)，则s?(t)表示物体在时刻t的瞬间速度。 例6、设物体的运动方程为s?t2?2t?3，求物体在时刻t=1时的速度？

1例7、求曲线y?x3?x2?x?3上一点，使过该点的切线平行于直线

32x?y?2?0。[x?3或x??1] 例8、设某产品的成本满足函数关系：C(x)?x2?x?3(x为产量)，求x=2时的边际成本，并说明其经济意义。

思考题： f'(x0)与[f(x0)]'有无区别？[f'(x0)?f?(x)x?x0，[f(x0)]'?0] 探究题：导数f?(x0)的值可不可以为负值？举例说明。[可以]

小 结：导数的美学意义：局部线性之美（y?f?(x0（)x?x0)?f(x0)）。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。 作 业：P25（A：1）；P28（A：1，3） 课堂练习（导数概念二）

【A组】

1、求下列函数的导数

1(1) y?x2 (2) y?2x3 (3) y?2sinx (4) y?x25x3 (5) y?3x?

x2、求下列函数的导数

321?x?x(1) y?1?x2?3x3 (2) y? (3) y?x?lnx (4) y?ex?2

x3、求函数y?ex?2x在x=1处的导数值？

总学时64学时（XRG）

?4、设f(x)?x2?2sinx?3,求f?(0),f?()?

25、设物体的运动方程为s?2t2?3t?1，求时刻t=3时的速度？

π6、 抛物线y = x2在何处切线与Ox轴正向夹角为，并且求该处切线的方程.

4

【B组】

1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为s?3t?t2，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？

x2?12、已知曲线y?与y?1?lnx相交于点（1，1），证明两曲线在该点处

2相切，并求出切线方程？

数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值 1、导数的定义（切线问题）

y?y msec?y?f(x)?x

Q f(x??x)dymtan? dx ?y dyP f(x)?x?dx

xxx??x

112、导数的几何意义：（y?x,y?(4)?;y?lnx,y?(4)?）

4432124683、导数的美学意义：曲线的局部线性化。 总学时64学时（XRG）