2018年高考数学课标通用理科一轮复习真题演练：第十一章 计数原理、概率、随机变量11-9 含解析 精品

甲：78,80＋m,84,85,84,85,91； 乙：79,84,84,86,87,84,91.

1

则乙的平均得分为x乙＝7×(79＋84＋84＋86＋87＋84＋91)＝85，

所以甲的平均得分为x甲＝85－1＝84，

1

即7×[78＋(80＋m)＋84＋85＋84＋85＋91]＝84，解得m＝1. 所以甲得分的众数为84,85，乙得分的极差为91－79＝12. (2)设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y， 则ξ＝|x－y|.

由茎叶图可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,5,6. 当ξ＝0时，x＝y＝84，

1C1C623故P(ξ＝0)＝C1C1＝25；

55

当ξ＝1时，x＝85，y＝84或86，

1C1C824故P(ξ＝1)＝C1C1＝25；

55

当ξ＝2时，x＝84，y＝86或x＝85，y＝87，

111C1CC4212C1故P(ξ＝2)＝C1C1＋C1C1＝25；

5555

当ξ＝3时，x＝81，y＝84或x＝84，y＝87，

11C1C111C32C1故P(ξ＝3)＝C1C1＋C1C1＝5；

5555

当ξ＝5时，x＝81，y＝86，

1C111C1故P(ξ＝5)＝C1C1＝25；

55

当ξ＝6时，x＝81，y＝87，

1C111C1故P(ξ＝6)＝C1C1＝25.

55

所以ξ的分布列为

ξ P 0 625 1 825 2 425 3 15 5 125 6 125 684111

ξ的期望为E(ξ)＝0×25＋1×25＋2×25＋3×5＋5×25＋6×2542＝25.

突破攻略

本题以实际生活为背景，并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期望等知识进行探求，有很强的现实意义与时代气息．破解离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇题的关键：一是看图说话，即看懂茎叶图，并能适时提取相关的数据；二是会求概率，即利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；三是活用定义，利用随机变量的数学期望的定义进行计算．

二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题

[典例2] 某次假期即将到来，喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩，初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点，每个景点有可能1

去的概率都是3，且是否游览某个景点互不影响，设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数．

(1)求ξ的分布列、期望及其方差；

(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

[思路分析] (1)依题设条件可判断ξ服从二项分布，利用二项分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函数f(x)的图

象的对称轴方程，利用f(x)单调性，可求出ξ的取值范围，即可求出事件A的概率．

[解] (1)依题意，得

ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3. 1???因为ξ～B3，3?， ??所以

?2?30

P(ξ＝0)＝C3×?3?＝

??

827， 99

?1?1?2?241

P(ξ＝1)＝C3×?3?×?3?＝，

??????

????

?1?2?2?122

P(ξ＝2)＝C3×?3?×?3?＝， ?1?33

P(ξ＝3)＝C3×?3?＝

127.

所以ξ的分布列为

ξ P 0 827 1 49 2 29 3 127 1所以ξ的期望为E(ξ)＝3×3＝1， 1?21?

ξ的方差为D(ξ)＝3×3×?1－3?＝3. ??

3?2?923

(2)因为f(x)＝?x－2ξ?＋1－4ξ的图象的对称轴方程为x＝2ξ，

??又函数f(x)＝x2－3ξx＋1在[2，＋∞)上单调递增， 34

所以2ξ≤2，即ξ≤3. 4??

所以事件A的概率P(A)＝P?ξ≤3?

??＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)

8420＝27＋9＝27. 突破攻略

本题以旅游为背景，考查了二项分布的分布列及其期望的探求，将二次函数知识融入其中是本题的“闪光”之处，又以函数的单调性“一剑封喉”，使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力！求解离散型随机变量的期望与函数交汇题的“两步曲”：一是活用公式，如果能够断定随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其期望与方差可直接利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得；二是分拆事件，会对随机事件进行分拆，即把事件分拆成若干个互斥事件的和，这样就能正确进行概率计算．

三、离散型随机变量的期望与频率分布直方图的交汇问题 [典例3] 某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，?，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅