2012年全国各地中考数学压轴题专集之反比例

三、反比例函数 1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S． （1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式； （2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝

39

时，S有最大值，求直线AB的解析式； 48

（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在

过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标． y

B

P D

x O C A

k12．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平

x

k2行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x

x

轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．

（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）； k1（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上，求m的值；

x

（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．

y y y

A A A

E E E

x x O B D O B D O B D

F

C C C

图1 图2 图3

x 3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝

1

，反比例函数y2

k

＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），x

△BDE的面积为2．

（1）求反比例函数和直线AB的解析式；

（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

E

F

B D x

A O C

4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA :AB :OC=5 :5 :3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD． （1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；

（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝

①求证：反比例函数y＝

m

的图象经过点B． x

m

的图象与直线AB必有两个不同的交点； x

②已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．

y B F C E A O 2

x 5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝且tan∠BOA＝

1

． 2

k

在第一象限内的图象经过点D、E，x

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长． y

F B C

D G

E

x O H A 7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－

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的图象上． x

（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；

（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则k＝__________（用含m的代数式表示）；

（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？

②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．

y y

Q P x O O

N M

备用图

x 8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，

k

3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线

x

y＝x上一动点．

（1）填空：B点的坐标为（______，______）；

（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．

y y

A A

B B

O x O 备用图

x 6

9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，

x

3

PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．

x

（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；

（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；

（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．

y 3 y＝x y＝2x

C A P 6

y＝x

B

x O