2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 3-1~3-2 含答案 精品

3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积

学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.会求简单几何体的体积．

知识点 定积分在几何中的应用

思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

梳理 (1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?baf(x)dx.

(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－?baf(x)dx.

(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的

b平面图形的面积S＝?a[f(x)－g(x)]dx.(如图)

类型一 利用定积分求面积 命题角度1 求不分割型图形的面积

例1 试求曲线y＝x2－2x＋3与y＝x＋3所围成的图形的面积． 解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．

??y＝x＋3，由?解得x1＝0，x2＝3. 2

?y＝x－2x＋3，?

2从而所求图形的面积为S＝?30[(x＋3)－(x－2x＋3)]dx

92?－1x3＋3x2??3＝?3＝0(－x＋3x)dx＝02??2. ?3

反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．

(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．

2

??y＝x－4，解 由?

?y＝－x＋2，?

???x＝－3，?x＝2，?得或? ?y＝5???y＝0，

所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3，5)和(2，0)， 设所求图形面积为S，

22根据图形可得，S＝?2－3(－x＋2)dx－?－3(x－4)dx

1132＝(2x－x2)|2－3－(x－4x)|－3 232525125＝－(－)＝. 236

命题角度2 分割型图形面积的求解

1

例2 (1)求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．

3解 画出图形，如图所示．

?y＝x，

解方程组?

?x＋y＝2，

x＋y＝2，???y＝x，?

?及? 11

y＝－x，y＝－x??3?3?

得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 113

所以S＝?10[x－(－x)]dx＋?1[(2－x)－(－x)]dx 33113＝?10(x＋x)dx＋?1(2－x＋x)dx 332112123＝(x2＋x2)|1＋(2x－x＋x)|1 36026211＝＋＋(2x－x2)|3 3631

51113＝＋6－×9－2＋＝. 6336

(2)由抛物线y2＝8x (y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为________． 答案

40

3

3解析 由题意，如图所示，

2??y＝8x?y>0?，由? ??x＋y－6＝0，

??x＝2，得?所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2，4)． ?y＝4，?

方法一 (选y为积分变量) 12S＝?4(6－y－y)dy 0

811

＝(6y－y2－y3)|4

2240

140

＝24－8－×64＝. 243方法二 (选x为积分变量)

6

S＝?20(8x)dx＋?2(6－x)dx

2126＝8×x2|20＋(6x－x)|2 32

161140＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)]＝. 3223

反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

1

跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为

x________．

3

2

答案 ＋ln2

3

1???y＝x，?x＝1，

解析 解方程组?得?

?y＝1.?2??y＝x，

3

所以

S＝?10322121xdx＋?1dx＝x|0＋lnx|21

x

2

＝＋ln2. 3

(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．

22

???y＝x，?y＝x，解 由?和?解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.

?y＝x???y＝2x，