高观点下 - 代数学练习题

《高观点-代数》练习题一

1、 由A→B的单映射σ的定义是什么?

2、由A→B的满映射σ的定义是什么？

3、自然数a与b相乘的定义中两个条件是什么？

4、y=lg x 是上凸函数还是下凸函数？ 5、比较Sin11(x1?x2)与Sinx1?Sinx2的大小？ 22

6、若a>b>c>0，且a+b+c=1，求（1）、2abc的极大值。（2）a×b×c=1， 求2a+b+4c的极小值。

7、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为多少？ 8、皮阿罗公理中的归纳公式是什么？

9、自然数a与b加法的定义中两个条件是什么？ 10、若f(x) =x为上凸函数则k的范围是什么？

11、若x>0,y>0,z>0且满足9x+12y2+5z=9 , 求3x+6y+5z的极大值。 12、求证半径为R的圆内接n边形以正n边形的面积最大。 13、求多项式(x1?x2?x3?x4)12展开合并同类项后

453（1）共有多少项？（2）x1x2x3的系数为多少？

22k14、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射. 15、自然数a>b的定义是什么？ 16、f(x)=x0..3，g(x)=Sin x （0

中那几个函数为上凸函数？那几个函数为下凸函数？

17、已知x>0,y>0,z>0。且满足3x+y+z=15 求2x+3y+4z的极大值。

22218、若0

ki?1ni=1,2,…n

19、皮阿罗公理中没有前元的元素是什么？ 20、柯西不等式(nnn?ab)ii12?(?a)(?bi2)等号成立的条件是什么？

2i11

21、令Q?为正有理数集合，若规定a?b?a?b ，a?b?ab。 问 2（1）{Q?,?}是否构成代数体系，是否满足结合律。 （2）{Q?,?}是否构成代数体系，是否满足结合律。

22、分别利用归纳法与反归纳法证明n个数的算术平均值大于等于这n个 数的几何平均值。

23、在整数集合中求两个数的最大公因数是不是代数运算？ 24、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有多少种？ 25、f(x)为上凸函数的定义是什么？

26、给出自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射的例子。 27、求证代数系统(R,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中R表示正实数集合，

R表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 28、若x>0,y>0,z>0且满足3x+4y2+5z=20 求9x+16y+7z的极大值。

1求证: ?1a1+?2a2+…+?nan?a1a22...ann其中?1+?2+…+?n=1

??22????i?0,ai?0, i=1,2…n

《高观点-代数》第二次离线作业

1、环的理想定义是什么？

2、剩余类环Z12中可逆元素是什么？

3、π为有理数域上的代数元还是超越元? 4、x1?x2?……+xn=m的非负整数解的个数为多少个？ 5、n个数码的扰乱排列总数为多少？

6、上11阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的法？ 7、在Z3?{0,1,2}中，求一个多项式f(x)使得f(1)=0，f(2)=0

8、n对夫妻一起跳舞，问刚好有K对夫妻为舞伴的方法有多少种？

9、从8个数字中取3个数字，但不准取连续两个数字的方法有多少种？（其中1和8这两个数字也算连续数字）。

10．若R是因式分解唯一环，求证：

（1）、((a,b),c) ~ (a,(b,c)) （2）、(ab, ac) ~ a(b,c) 11、在二阶方阵环（实数域上）中给出两个零因子的例子？ 12、素元素的定义为是什么？ 13、不可约元素的定义是什么？

rr?114、Cn?1与Cn?1的和等于多少？

15、在剩余类环Z8中不可逆的元素是什么？ 16、若环R={元素。

17、求在剩余类环Z12中，（x?2）(x?3)=0的根。 18、求多项式(x1?x2?x3?x4)12展开合并同类项后

453（1）共有多少项？（2）x1x2x3的系数为多少？

k| m∈Z，k∈Z} ，求证R是整环，并求出R中的所有可逆元素和不可约m219、从不大于100的正整数中，能被2，或3，或5整除的自然数共有多少个？ 20、Z8中的可逆元素是什么？

21、x1+x2+x3=10方程的非负整数解的个数为多少？

22、在整环R={a+b3 | a∈Z，b∈Z }中2是不可约元素还是素元素？ 23、上12阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的上法？

24、求出1---10000中，能被3，或5，或7整除的自然数共有多少个？ 25、若环R={

k| m∈Z，k∈Z}找出所有可逆元素和不可约元素。 2m26、若数域F含有无穷多个元素，求证：域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。

27、给出整环中因式分解不是唯一的例子。 28、?是有理数环上的代数元还是超越元？

29、有理系数n次多项式在有理数域内最多有多少根？

30、从n 个元素中取n+1个元素（允许重复取）有多少种方法？ 31、求证整数环是主理想环。 32、举出一个整环例子，在这个环中因式分解不是唯一的，且有的不可约元素不是素元素（这里要说明整环为什么是整环，且该元素为什么是不可约元素）。

33、求从不大于1000中，能被3，或5，或11整除的自然数共有多少个？

34、展开多项式后合并同类项(x?y?z?t)12共有多少项？x2y3t7的系数为多少？ 35、在Z8中, x?1?0共有几个根?

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