2018版数学新导学同步人教A版选修2-3检测及作业：第一章 章末检测卷 Word版含解析

如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？

解析：分为两类：

第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80.

第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．

故N2＝5×4×3×3＝180.

综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260(种)．

18．(12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？

解析：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C16种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C26种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A26种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C16·C25种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C46种分法．

故共有N＝C16＋C26＋A26＋C16·C25＋C46＝126(种)分配方法．

19．(12分)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

解析：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26， 解得n＝8.

∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第r＋1项系数最大，则有 8·2r≥Cr8－1·2r－1?Cr?

8·2r≥C8r＋1·2r＋1?Cr

?5≤r≤6.

∵r∈{0,1,2，…，8}， ∴r＝5或r＝6.

∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 20．(12分)三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？ 解析：(1)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6A3＝4 320种不同的排法． (2)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A5种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A36种方法，因此共有A5A36＝14 400种不同的排法． (3)方法一：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A25种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A25A6＝14 400种不同的排法． 方法二：三个女生和五个男生排成一排共有A8种不同的排法，从中去掉女生排在首位的A13A7种排法和女生排在末位的A13A7种排法，但这样两端都是女生的排法在去掉女生排在首位的情况时被去掉一次，在去掉女生在末位的情况时又被去掉一次，所以还需加上一次，由于两端都是女生有A23A6种不同的排法，所以共有A8－2A13A7＋A23A6＝14 400种不同的排法． (4)方法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15A7种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，这样末位就只能排男生，这样可有A13A15A6种不同排法，因此共有A15A7＋A13A15A6＝36 000种不同的排法． 方法二：三个女生和五个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A23A6种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A8－A23A6＝36 000种不同的排法． (5)甲必须在乙的右边即为所有排列的， A221A88因此共有＝20 160种不同的排法． A2221．(12分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，求n的值； (3)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和． 解析：(1)C320＝1 140. (2)C13nC14n＝23?142n－13＝3，解得n＝34. (3)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1. 22．(12分)设数列{an}是等比数列，a1＝C3m2m＋3·A1m－2???x＋1?4x2?4?的展开式中的第二项． (1)用n，x表示通项an与前n项和Sn. (2)若An＝C1nS1＋C2nS2＋…＋CnSn，用n，x表示An. 解析：(1)因为a1＝C3m2m＋3·A1m－2， ?2m＋3≥3m，所以??m－2≥1， ??m≤3，即?m≥3. 所以m＝3.所以a1＝1. q是，公比1??又由?x＋?4知T2＝C14·x4?4x2?－1·＝x，所以an＝xn－14x21n，x＝1，??，S＝?1－xn，x≠1.??1－xn (2)当x＝1时，Sn＝n， An＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCn.① 又因为An＝nCn＋(n－1)Cn－1＋(n－2)Cn－2＋…＋C1n＋0·C0n，② 由Cmn＝Cn－m，①＋②，得 2An＝n(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn)， 所以An＝n·2n－1. 1－xn当x≠1时，Sn＝， 1－x1－x1－x21－x31－xnAn＝C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cn 1－x1－x1－x1－x＝·[(C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cn)－(xC1n＋x2C2n＋x3C3n＋…＋xnCn)] 1－x[2n－1－(1＋xC1n＋x2C2n＋…＋xnCn－1] 1－x[2n－(1＋x)n]． 1－x111＝＝所以An＝错误!