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云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷4

一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分） 1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（ ） A．3π B．π

C．2π D．4π

2．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）

A．5

B．

C．4

D．

3．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（ ）

A．1

B． C． D．2

4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A．尺 B．

尺 C．

尺 D．

尺

5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为

函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（ ） A．x=

B．x=

C．x= D．x= 6．已知函数f（x）=ex

+ae﹣x

为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（ ）

A．ln2 B．2ln2

C．2

D．

7．若“?x∈[，2]，使得2x2

﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，2] B．[2

，3]

C．[﹣2

，3] D．λ=3

8．若函数f（x）=

﹣x+λ在[﹣1,1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为( )

A．[1，

） B．（﹣

，

） C．（﹣

，﹣1]

D．[﹣1，1]

9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足?=9，则|

|?||的值为（ ）

A．8

B．10 C．12 D．15

10．已知函数f（x）=

+

满足条件f（loga（

+1））=1，其中a＞1，则

f（loga（

﹣1））=（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

11．已知x∈（0，

），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（ ）

A．[1，2） B．[

，+∞） C．（1，

] D．[1，+∞）

12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=

，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动， 则|

+

|的最小值为（ ）

A．3 B．4 C． D．

二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）

13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为 ．

14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）= ．

15．设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为 ．

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2

+c2

﹣a2

=bc=1，cosBcosC=﹣，

则△ABC的周长为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17．已知等比数列{an}单调递增，记数列{an}的前n项之和为Sn，且满足条件a2=6，S3=26． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=an﹣2n，求数列{bn}的前n项之和Tn．

18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．

（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上 网购物者人数成等差数列，求a，b的值；

1

（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．

19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，

设E为CD中点

（1）求证：D1E⊥平面BEC1

（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两

点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O

为坐标原点，求直线l的斜率．

21．已知函数f（x）=ln（ax+）+

．

（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）

（1）求曲线C的普通方程；

（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（

﹣θ）+1=0，

已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

2

数学试卷4答案

一、选择题BADBDAACDBBD． 二、填空题（）

13 （﹣1，﹣1） ． 14 ﹣ ． 15．

．

16． + ．

三、解答题 17．解：（1）设单调递增的等比数列{an}的公比为q≠1，∵a2=6，S3=26． ∴a1q=6，

=26，解得a1=18，q=，或a1=2，q=3．

当a1=18，q=，等比数列{an}单调递减，舍去． ∴a1=2，q=3． ∴an=2×3n﹣1．

（2）bn=an﹣2n=2×3n﹣1﹣2n， ∴数列{bn}的前n项之和Tn=

﹣2×

=3﹣1﹣n﹣n．

n

2

18．解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0.015

联立解出a=0.035，b=0.025

（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4， 由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人， 随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．

；

；

列表如下：

X 240 P

数学期望

210

180

150

19．证明：（1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角，BE⊥CD

3

所以BE⊥平面CDD1C1，而D1E?平面CDD1C1，故BE⊥D1E 因为△C1D1E的三边长分别为

，故△C1D1E为等腰直角三角形

所以D1E⊥C1E，结合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1 解：（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形 知DG⊥AB，从而DG⊥DC

以DC，DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时

，

，设

由上面的讨论知平面BEC1的法向量为

由于AF?平面BEC1，故AF∥平面BEC1

故（λ+1，0，1）?（1，0，﹣1）=（λ+1）﹣1=0?λ=0，故

设平面ADF的法向量为

，

由知，取，故

设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，则

即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．

20．解：（1）由椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，

由e=知，即a=c，由b==c，

可设，其中λ＞0

由已知

，

4