2018版高考数学（人教A版理）一轮复习教师用书 选修4-5 第2节 不等式的证明 Word版含解析

第二节 不等式的证明

[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b

定理2：如果a，b为正数，则2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正a1＋a2＋…＋ann数，则≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

n

2．不等式证明的方法

(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.

名称 作差比较法 a＞b?a－b＞0 理论依据 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 (2)综合法与分析法 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件

作商比较法 ab＞0，b＞1?a＞b ab＜0，b＞1?a＜b a＋b＋c3

3≥abc，当且仅当a＝b＝c时，

都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )

(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )

(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

11

2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋a，y＝b＋b，则x与y的大小关系是( ) A．x＞y C．x≥y

1?1?

A [x－y＝a＋a－?b＋b?

??b－a?a－b??ab－1?

＝a－b＋ab＝.

ab由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，

?a－b??ab－1?所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]

ab

3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．

M≥N [2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]

11

4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则a＋b的最小值是________．

B.x＜y D.x≤y

4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11?11?ba∴a＋b＝?a＋b?(a＋b)＝2＋a＋b

??≥2＋2

baa·b＝4，

1

当且仅当a＝b＝2时等号成立．]

5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [证明] 因为x＞0，y＞0，

33

所以1＋x＋y2≥3xy2＞0,1＋x2＋y≥3x2y＞0，8分

33

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3xy2·3x2y＝9xy.10分

比较法证明不等式

已知a＞0，b＞0，求证：

ab

＋≥a＋b. ba

b??a

[证明] 法一：?＋?－(a＋b)

a??b?a??b?a－bb－a

＝?－b?＋?－a?＝＋ ?b??a?ba＝∴

?a－b??a－b?

ab

＝?a＋b??a－b?2

ab

≥0，

ab

＋≥a＋b.10分 ba

法二：由于

ab＋baa＋b

＝

aa＋bbab?a＋b?＝a＋bab

＝

?a＋b??a－ab＋b?

ab?a＋b?

－1≥

2ab

－1＝1.8分 ab

又a＞0，b＞0，ab＞0，∴

ab

＋≥a＋b.10分 ba

[规律方法] 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利a

用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明b＞1(b＞0)．

2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．

提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． [变式训练1] (2017·莆田模拟)设a，b是非负实数， 求证：a2＋b2≥ab(a＋b).

【导学号：01772447】

[证明] 因为a2＋b2－ab(a＋b) ＝(a2－aab)＋(b2－bab) ＝aa(a－b)＋bb(b－a) ＝(a－b)(aa－bb) 1??33??1

＝?a2－b2??a2－b2?.6分 ????

3311

a－b因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a2－b2与223?11?3

同号，所以(a2－b2)?a2－b2?≥0，

??

所以a2＋b2≥ab(a＋b).10分

综合法证明不等式