2020年新课标高考数学一轮复习重点专题特训14 数列中的最值问题

2020年新课标高考数学一轮复习重点专题特训14 数列中的最值问题

一、选择题

1．已知等差数列?an?的前n项和是Sn,若S15?0, S16?0,则Sn最大值是（ ） A. S1 B. S7 C. S8 D. S15 【答案】C

【解析】由等差数列的前n项和的公式可得： S15?15a8?0,S16?8(a8?a9)?0故a8?0,a9?0则

d?a9?a8?0,故在数列?an?中,当n?9时, an?0,当n?9,an?0,所以n?8时, Sn达到最大值.

2．若等差数列{an}的前n项和Sn?n2,则

2Sn?24的最小值为（ ）

an?1A．43 B.8 C.6 D.7 【答案】D

3.已知正项等比数列?an?的前n项和为Sn,且S8?2S4?5,则a9?a10?a11?a12的最小值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C

【解析】由题意可得： a9?a10?a11?a12?S12?S8,由S8?2S4?5可得S8?S4?S4?5, 由等比数列的性质可得： S4,S8?S4,S12?S8成等比数列,则S4?S12?S8???S8?S4?,综上可得：

2a9?a10?a11?a12?S12?S8??S4?5?S42?S4?2525?10?2S4??10?20, S4S4当且仅当S4?5时等号成立.综上可得,则a9?a10?a11?a12的最小值为20. 4.已知数列{an}的通项公式为an?3,记数列Sn的前n项和为,则使Sn?0成立的n的最大值为（ ） 2n?7A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】a1?333333??,a2???1,a3???3,a4??3,a5??1

2?1?752?2?72?3?72?4?72?5?73333a6??,a7??,…,所以使Sn?0成立的n的最大值为6,故选C.

2?6?752?7?77

1

5．设数列

?an?为等差数列, Sn为其前n项和,若S1?13, S4?10, S5?15,则a4的最大值为（ ）

A. 3 B. 4 C. ?7 D. ?5 【答案】B

【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3, 两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选B.

6. 等比数列?an?的前n项和Sn?·3n?1?c（c为常数）,若?an?3?S2n恒成立,则实数?的最大值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C

7. 正项等比数列｛an｝中,存在两项am,an（m,n?N*）使得aman=16a12,且a7=a6+2a5,则（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B

2【解析】∵a7?a6?2a5,∴a5q?a5q?2a5,又q?0,∴q?2,

m?1n?12m?n?2?16a12,∴m?n?2?4,即m?n?6, ∴aman?a1?2?a1?2?a1212125+的最小值为mn1251n25m?1?n25m?n25m?125?1????m?n??????26?? ,当且仅当,?26?2??6??????mn6mn?6?mn?mn?mn?6?即m?1,n?5时等号成立,∴

125?的最小值为6,故选B． mn28. 等差数列?an?的公差为d,关于x的不等式dx?2a1x?0的解集为?0,9?,则使数列?an?的前n项和Sn最大的正整数n的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B

9. 已知等差数列?an?的公差d?0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1?1,Sn为数列?an?的前n项和,则

2Sn?16的最小值为（ ）

an?3A．4 B．3 C．23?2 D．2 【答案】A

2

2)?ad)d,?【解析】由已知有a3?a1a13,所以有(a1?2d21(a1?122d(?,数0)列?an?通项公式

2Sn?16n2?89n(1?2n?1)2an?1?2(n?1)?2n?1,Sn??n,所以??(n?1)??2?4,当且仅当

2an?3n?1n?1n?1?9,即n?2时等号成立.故选A. n?110. 已知三个数a?1,a?1,a?5成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三项,则能使不等式a1?a2??an?11??a1a2?1成立的自然数n的最大值为（ ） anA．9 B．8 C．7 D．5 【答案】C

【解析】因为三个数a?1,a?1,a?5等比数列,所以?a?1???a?1??a?5?,?a?3, 倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{an}的前三项,为,2111,,公比为2, 842?1?1数列??是以8为首项,为公比的等比数列,

2?an?11??a1a2则不等式a1?a2??an?1??1n81???1?2??12n??8?等价为?, 1an1?21?2n7整理,得2?2,?1?n?7,?n?N?,故选C

sin2a4?cos2a4?cos2a4cos2a8?sin2a4sin2a811. 设等差数列?an?满足:?1,公差d?(?1,0),

sin(a5?a7)若当且仅当n?9时,?an?的前n项和Sn取得最大值,则首项a1的取值范围是（ ） A． (?,9?9?7?4?7?4?) B． [?,] C． [,] D. (,) 886363【答案】A

12. 设数列{an}首项a1?2,an?1?3an,Sn为{an}的前n项和,若Tn?时,n? （ ）

A． 4 B．2 C． 6 D． 3

28Sn?S2n,n?N*,当Tn取最大值

an?13

【答案】D

2(1?(3)n)【解析】由题意得an?2?(3),Sn?,

1?3n?128Sn?S2n28(1?(3)n)?(1?3n)127n所以Tn???[?(3)?28] nnan?12(3)(1?3)2(1?3)(3)?12733?1427nn[2?(3)?28]??(3)?n?3时取等号,故选D. 当且仅当nn(3)2(1?3)(3)1?3二、填空题

13.将10个数1,2,3,…,9,10按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的3数之和为S,则S的最大值不小于__________． 【答案】18

14.已知?an?是等比数列,且an?0, a2a4?2a3a5?a4a6?25,则a4的最大值为__________． 【答案】

5 2222【解析】a2a4?2a3a5?a4a6?25 ?a3?2a3a5?a5?25??a3?a5??25,an?0?a3?a5?5

5255?a?a?2?a4?a3a5??35???a4? ,即a4的最大值为.

242?2?15．设等差数列?an?满足a3?a7?36, a4a6?275,且anan?1有最小值,则这个最小值为__________． 【答案】-12

【解析】因为数列?an?是等差数列,且a3?a7?36,所以a4?a6?36,

2a4a6?275,?a4,a6是一元二次方程t2?36t?275?0的二根,

由t2?36t?275?0得?t?25??t?11??0, ?t1?25或t2?11, 当a4?25,a6?11时, d?a6?a411?25???7, 6?42?an?a4??n?4?d??7n?53,

当an?0,an?1?0时, anan?1取得最小值,由{?7n?53?0?7?n?1??53?0 解得

4653, ?n?77?n?7时, anan?1取得最小值,此时a7?4,a8??3,?anan?1?min??12,

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