高考数学 109 离散型随机变量的均值与方差、正态分布提素能高效训练 新人教A版 理

\【优化探究】2015高考数学 10-9 离散型随机变量的均值与方差、

正态分布提素能高效训练 新人教A版 理 \

[A组 基础演练·能力提升]

一、选择题

1．(2014年嘉峪关模拟)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )

A．5 C．5.8

B．5.25 D．4.6

2

11C33

解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝3＝，P(X＝5)

C620C620C43C51

＝3＝，P(X＝6)＝3＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. C610C62

答案：B

2．设随机变量X～N(1,3)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝( ) A．0 C．2

B．1 D．3

2

2

2

解析：因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B. 答案：B

1

3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝( )

3A．6 C．3

B．9 D．4

12

解析：由E(ξ)＝(1＋2＋3)＝2，得D(ξ)＝，

33D(3ξ＋5)＝3×D(ξ)＝6. 答案：A

4．(2013年高考安徽卷)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )

A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

1

2

解析：A、B不正确，无法确定采用的是哪种抽样方法． 男生的平均成绩为90，女生的平均成绩为91，

但这只能反映这五名男生和这五名女生的情况，不能准确反映全班的成绩．又男生成绩的方差为8，大于女生成绩的方差6，故C正确．

答案：C

5．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a＝( ) A．3 C．5

5

B. 37 D. 3

解析：因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以2a－3＋a＋2＝6，7

a＝，故选D. 3

答案：D

?1?6．设X为随机变量，且X～B?n，?，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)?3?

＝( )

A.C.13 1613 243

1 B. 680 D. 243

n?1??1?2?2?4802

解析：∵X～B?n，?，∴E(X)＝＝2，∴n＝6，∴P(X＝2)＝C6×??×??＝.

3?3??3??3?243答案：D 二、填空题

7．(2014年贵阳一中模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.

解析：P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16. 答案：0.16

8．袋中有3个黑球，1个红球．从中不放回的任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.

解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示C31C3111

取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，故E(ξ)＝0×＋2×＝1.

C42C4222故填1.

答案：1

2

1

2

2

9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕2

业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让

31

其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝

12________.

1112

解析：由题意知，×(1－p)＝，即p＝，

3122

2?1?211?1?1?1?11

∴P(X＝1)＝×?1－?＋××?1－?＋×?1－?×＝，

3?2?32?2?3?2?2321?1?2?1?11115

P(X＝2)＝××?1－?＋×?1－?×＋××＝，

2?3?2?23221232?2?1?21

P(X＝3)＝×??＝，

3?2?6

11515

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，

1231263

1?5?21?5?25?5?21?5?213

∴D(X)＝×?0－?＋×?1－?＋×?2－?＋×?3－?＝. 3?12?3?6?3?1812?3?3?13

答案： 18三、解答题

10．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：

(1)随机变量ξ的概率分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解析：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4， C2C3C23

P(ξ＝2)＝11＝；

C5C45A2C3＋A3C23

P(ξ＝3)＝111＝；

C5C4C310A3C21

P(ξ＝4)＝1111＝；

C5C4C3C210

所以随机变量ξ的概率分布列为：

ξ P (2)随机变量ξ的数学期望

3

3121

21

111

2 3 53 3 104 1 103315

E(ξ)＝2·＋3·＋4·＝；

510102随机变量ξ的方差

?5?23?5?23?5?219

D(ξ)＝?2－?·＋?3－?·＋?4－?·＝. ?2?5?2?10?2?1020

11．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本 人数 人教A版 20 人教B版 15 苏教版 5 北师大版 10 (1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率； (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C50＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为C20＋C15＋C5＋C10＝350，

3502故2人使用版本相同的概率为P＝＝.

1 2257(2)ξ的所有可能取值为0,1,2. C153

P(ξ＝0)＝2＝，

C3517C20C1560

P(ξ＝1)＝2＝.

C35119C2038

P(ξ＝2)＝2＝.

C35119∴ξ的分布列为

ξ P 0 3 171 60 1192 38 11921

122

2

2

2

2

360381368∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.

171191191197

12．(能力提升) (2013年高考全国新课标卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

1

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产

2

4