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\【优化探究】2015高考数学 10-9 离散型随机变量的均值与方差、
正态分布提素能高效训练 新人教A版 理 \
[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1.(2014年嘉峪关模拟)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( )
A.5 C.5.8
B.5.25 D.4.6
2
11C33
解析:由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=3=,P(X=4)=3=,P(X=5)
C620C620C43C51
=3=,P(X=6)=3=.由数学期望的定义可求得E(X)=5.25. C610C62
答案:B
2.设随机变量X~N(1,3),若P(X≤c)=P(X>c),则c=( ) A.0 C.2
B.1 D.3
2
2
2
解析:因为P(X≤c)=P(X>c),所以c=1,故选B. 答案:B
1
3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,则D(3ξ+5)=( )
3A.6 C.3
B.9 D.4
12
解析:由E(ξ)=(1+2+3)=2,得D(ξ)=,
33D(3ξ+5)=3×D(ξ)=6. 答案:A
4.(2013年高考安徽卷)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
1
2
解析:A、B不正确,无法确定采用的是哪种抽样方法. 男生的平均成绩为90,女生的平均成绩为91,
但这只能反映这五名男生和这五名女生的情况,不能准确反映全班的成绩.又男生成绩的方差为8,大于女生成绩的方差6,故C正确.
答案:C
5.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a=( ) A.3 C.5
5
B. 37 D. 3
解析:因为ξ服从正态分布N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3+a+2=6,7
a=,故选D. 3
答案:D
?1?6.设X为随机变量,且X~B?n,?,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)?3?
=( )
A.C.13 1613 243
1 B. 680 D. 243
n?1??1?2?2?4802
解析:∵X~B?n,?,∴E(X)==2,∴n=6,∴P(X=2)=C6×??×??=.
3?3??3??3?243答案:D 二、填空题
7.(2014年贵阳一中模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=________.
解析:P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-0.84=0.16. 答案:0.16
8.袋中有3个黑球,1个红球.从中不放回的任取2个,取到一个黑球得0分,取到一个红球得2分,则所得分数ξ的数学期望E(ξ)=________.
解析:由题得ξ所取得的值为0或2,其中ξ=0表示取得的球为两个黑球,ξ=2表示C31C3111
取得的球为一黑一红,所以P(ξ=0)=2=,P(ξ=2)=2=,故E(ξ)=0×+2×=1.
C42C4222故填1.
答案:1
2
1
2
2
9.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕2
业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让
31
其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则D(X)=
12________.
1112
解析:由题意知,×(1-p)=,即p=,
3122
2?1?211?1?1?1?11
∴P(X=1)=×?1-?+××?1-?+×?1-?×=,
3?2?32?2?3?2?2321?1?2?1?11115
P(X=2)=××?1-?+×?1-?×+××=,
2?3?2?23221232?2?1?21
P(X=3)=×??=,
3?2?6
11515
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=,
1231263
1?5?21?5?25?5?21?5?213
∴D(X)=×?0-?+×?1-?+×?2-?+×?3-?=. 3?12?3?6?3?1812?3?3?13
答案: 18三、解答题
10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,求:
(1)随机变量ξ的概率分布列; (2)随机变量ξ的数学期望与方差. 解析:(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4, C2C3C23
P(ξ=2)=11=;
C5C45A2C3+A3C23
P(ξ=3)=111=;
C5C4C310A3C21
P(ξ=4)=1111=;
C5C4C3C210
所以随机变量ξ的概率分布列为:
ξ P (2)随机变量ξ的数学期望
3
3121
21
111
2 3 53 3 104 1 103315
E(ξ)=2·+3·+4·=;
510102随机变量ξ的方差
?5?23?5?23?5?219
D(ξ)=?2-?·+?3-?·+?4-?·=. ?2?5?2?10?2?1020
11.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示:
版本 人数 人教A版 20 人教B版 15 苏教版 5 北师大版 10 (1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
解析:(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C50=1 225,选出2人使用版本相同的方法数为C20+C15+C5+C10=350,
3502故2人使用版本相同的概率为P==.
1 2257(2)ξ的所有可能取值为0,1,2. C153
P(ξ=0)=2=,
C3517C20C1560
P(ξ=1)=2=.
C35119C2038
P(ξ=2)=2=.
C35119∴ξ的分布列为
ξ P 0 3 171 60 1192 38 11921
122
2
2
2
2
360381368∴E(ξ)=0×+1×+2×==.
171191191197
12.(能力提升) (2013年高考全国新课标卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
1
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产
2
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