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高考数学 109 离散型随机变量的均值与方差、正态分布提素能高效训练 新人教A版 理

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  • 2025/7/10 20:46:17

\【优化探究】2015高考数学 10-9 离散型随机变量的均值与方差、

正态分布提素能高效训练 新人教A版 理 \

[A组 基础演练·能力提升]

一、选择题

1.(2014年嘉峪关模拟)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( )

A.5 C.5.8

B.5.25 D.4.6

2

11C33

解析:由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=3=,P(X=4)=3=,P(X=5)

C620C620C43C51

=3=,P(X=6)=3=.由数学期望的定义可求得E(X)=5.25. C610C62

答案:B

2.设随机变量X~N(1,3),若P(X≤c)=P(X>c),则c=( ) A.0 C.2

B.1 D.3

2

2

2

解析:因为P(X≤c)=P(X>c),所以c=1,故选B. 答案:B

1

3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,则D(3ξ+5)=( )

3A.6 C.3

B.9 D.4

12

解析:由E(ξ)=(1+2+3)=2,得D(ξ)=,

33D(3ξ+5)=3×D(ξ)=6. 答案:A

4.(2013年高考安徽卷)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )

A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

1

2

解析:A、B不正确,无法确定采用的是哪种抽样方法. 男生的平均成绩为90,女生的平均成绩为91,

但这只能反映这五名男生和这五名女生的情况,不能准确反映全班的成绩.又男生成绩的方差为8,大于女生成绩的方差6,故C正确.

答案:C

5.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a=( ) A.3 C.5

5

B. 37 D. 3

解析:因为ξ服从正态分布N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3+a+2=6,7

a=,故选D. 3

答案:D

?1?6.设X为随机变量,且X~B?n,?,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)?3?

=( )

A.C.13 1613 243

1 B. 680 D. 243

n?1??1?2?2?4802

解析:∵X~B?n,?,∴E(X)==2,∴n=6,∴P(X=2)=C6×??×??=.

3?3??3??3?243答案:D 二、填空题

7.(2014年贵阳一中模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=________.

解析:P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-0.84=0.16. 答案:0.16

8.袋中有3个黑球,1个红球.从中不放回的任取2个,取到一个黑球得0分,取到一个红球得2分,则所得分数ξ的数学期望E(ξ)=________.

解析:由题得ξ所取得的值为0或2,其中ξ=0表示取得的球为两个黑球,ξ=2表示C31C3111

取得的球为一黑一红,所以P(ξ=0)=2=,P(ξ=2)=2=,故E(ξ)=0×+2×=1.

C42C4222故填1.

答案:1

2

1

2

2

9.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕2

业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让

31

其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则D(X)=

12________.

1112

解析:由题意知,×(1-p)=,即p=,

3122

2?1?211?1?1?1?11

∴P(X=1)=×?1-?+××?1-?+×?1-?×=,

3?2?32?2?3?2?2321?1?2?1?11115

P(X=2)=××?1-?+×?1-?×+××=,

2?3?2?23221232?2?1?21

P(X=3)=×??=,

3?2?6

11515

∴E(X)=0×+1×+2×+3×=,

1231263

1?5?21?5?25?5?21?5?213

∴D(X)=×?0-?+×?1-?+×?2-?+×?3-?=. 3?12?3?6?3?1812?3?3?13

答案: 18三、解答题

10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,求:

(1)随机变量ξ的概率分布列; (2)随机变量ξ的数学期望与方差. 解析:(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4, C2C3C23

P(ξ=2)=11=;

C5C45A2C3+A3C23

P(ξ=3)=111=;

C5C4C310A3C21

P(ξ=4)=1111=;

C5C4C3C210

所以随机变量ξ的概率分布列为:

ξ P (2)随机变量ξ的数学期望

3

3121

21

111

2 3 53 3 104 1 103315

E(ξ)=2·+3·+4·=;

510102随机变量ξ的方差

?5?23?5?23?5?219

D(ξ)=?2-?·+?3-?·+?4-?·=. ?2?5?2?10?2?1020

11.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示:

版本 人数 人教A版 20 人教B版 15 苏教版 5 北师大版 10 (1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

解析:(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C50=1 225,选出2人使用版本相同的方法数为C20+C15+C5+C10=350,

3502故2人使用版本相同的概率为P==.

1 2257(2)ξ的所有可能取值为0,1,2. C153

P(ξ=0)=2=,

C3517C20C1560

P(ξ=1)=2=.

C35119C2038

P(ξ=2)=2=.

C35119∴ξ的分布列为

ξ P 0 3 171 60 1192 38 11921

122

2

2

2

2

360381368∴E(ξ)=0×+1×+2×==.

171191191197

12.(能力提升) (2013年高考全国新课标卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

1

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产

2

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\【优化探究】2015高考数学 10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布提素能高效训练 新人教A版 理 \ [A组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1.(2014年嘉峪关模拟)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( ) A.5 C.5.8 B.5.25 D.4.6 211C33解析:由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=3=,P(X=4)=3=,P(X=5)C620C620C43C51=3=,P(X=6)=3=.由数学期望的定义可求得E(X)=5.25. C610C62答案:B

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