数学建模论文 - 公司最优投资方案 - 图文

可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的到期利润率波动都比较大。而且经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。

所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。通过对每组数据，使用matlab构造解析表达式，再进行预测(相关程序见附录)。

在本题中，我们将年份即从1986年开始到2005年之间的时间作为自变量，设为t；到期利润率作为因变量，设为y。其中时间t，从1986年开始，即设为单位1，以此类推。 4.2.2 预测结果

通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六）：

表一：各投资项目独立投资时03—05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值） 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 03年 0.1039 0.1812 0.2640 0.3701 0.9291 1.108 04年 0.1908 0.1804 0.3183 0.4159 0.87 0.5842 05年 0.1308 0.1548 0.5030 0.7261 2.129 -0.0405 9.0207 11.2556 13.8241 3.9019 1.8090 1.9558

表二：一些同时投资的项目04、05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值） 项目 同时投资3、4 3 4 0.4745 同时投资5、6 5 6 5 同时投资5、6、8 6 8 04年 0.4709 05年 0.1631 0.7268 1.0445 1.4299 2.3077 3.0729 2.7757 4.1562 -0.9029 -0.6520 -1.6356 -1.4579

5.问题一的解答

问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风

险投资。这是线性规划中的最优解问题。针对问题一，我们建立了模型一。 5.1 模型一的建立 5.1.1 确定目标函数

该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润。为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。 该公司第一年年初只能对前六个项目（项目1，项目2 ?项目6）进行投资，且6个投资项目预计到期利润率都大于0（见附录一），所以第一年20亿全用于投

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资。当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）：

maxw?Z5?20

5.1.2 确定约束条件

（1）对于这8个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限（见附录一），即：

0?xij?ui

（2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金利润和），即：

8?i?1xij?Zj

其中，第一年的总投资金额不应大于20亿，则Zj为：

?20,j?1?Zj??8??yi,j?1,j?2,3,4,5?i?1

注：Z1=20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额

（3）对于项目1，2，每年初投资，当年年末回收本利；对于项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；对于项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利；则：

yij?xij(1?pi),i?1,2,7,8j?1,2,3,4,5

特别地，

??x7j?0,j?1,3,4,5 ???x8j?0,j?1,2,4,5 （4）对于项目3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则：

y?x(1?p)iji,j?1i，i?3,4，j?2,3,4,5

（5）对于项目5，6每年年初投资，第三年末回收本利，则：

y?x(1?p)iji,j?2i，i?5,6，j?3,4,5

综合（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题一的约束条件。

5.1.3 综上所述，得到问题一的单目标最优化模型 maxw?Z5?20

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?????????s.t.??????????

0?xij?u8i?i?1xij?ZjZj?20,j?1???8??yi,j?1,j?2,3,4,5?i?1jx7?0,j?1,3,4,5x8j?0,j?1,2,4,5?xij(1?pi),i?1,2,7,8,j?1,2,3,4,5???xi,j?1(1?pi),i?3,4,j?2,3,4,5??xi,j?2(1?pi),i?5,6,j?3,4,5

yij5.2 模型一的求解

根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元）），具体数据见下表： 表三：5年内最佳的投资方案（单位：亿元） 项目 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 1 5.154545 0 0 0 5.521859 2 3.00 0 0 0.35 3.00 3 3.845455 0 0 4.00 0 4 3.00 0 0.616818 3.00 0 5 3.00 3.00 3.00 0 0 6 2.00 2.00 2.00 0 0 7 0 4.00 0 0 0 8 0 0 3.00 0 0 根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润17.41405亿元。其数据的灵敏度分析同样适用Lingo求解，具体结果见附录八。

6.问题二的解答

对于问题二，要预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率，首先要对提供的数据进行处理。我们已经通过插值拟合对附录表二、三的数据的缺省值进行了预测，见附录五、六。 6.1 模型二的准备

首先对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行灰色预测，得到的结果误差较大（最高的百分绝对误差为5.3704%）， 又利用时间序列预测模型中的一、二、三次指数平滑预测法进行预测，结果也都不理想。通过用一、二、三次的指数平滑法来预测1986—2005年的到期利润率，与真实值比较后发现，二次指数平滑法的预测效果要好于其他两种（具体对比数据见附录七）。

所以我们采用组合预测方法，组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同的单项预测法对同一预测对象进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法。 6.2 模型二的建立

在本题中，我们采用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的组合预测模型来

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预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。这里采用均方误差确定加权系数。

首先，我们把1986-2005年分为两个时间段，即：前十年为一段，后十年为一段。然后，我们分别用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法根据1986-1995年到期利润率预测1996-2005年的到期利润率。 6.2.1 灰色预测模型的建立

⑴ 原始数据，原始数据1986-1995年的到期利润率数据（即）表示为

(0)(0)(0)(0) x?(x(1),x(2),?,x(n))⑵ 计算生成序列X一次累加得到X(1)(1)，用GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据Xi(0)m?1(0)作

序列x(1)()i?x(m)???(i?1,2...n) ?可以得到相应的K(1)(1)(1)(1)的递增系列X ?x1,x2,?,xn????????(1)⑶ 得到模型的白化方程，首先对X计算紧邻均值生成Z(1)：

1((1)1)(1) ??zm?x(m)?xm(?1)......(m?2,?,)n??j??2????az?kb接着我们根据GM(1,1)建模，写出灰色函数：x ?k????01根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方

?1?dx?t??1?程模型，得到GM(1,1)的白化方程即：?ax?t??b

dt ⑷ 白化方程的求解，得到预测值X?^(0)表达式，其白色方程的解为时间响应

a?(0)b??0??1at1??????b函数xx?1e? ?k??????a通过改变k的值我们可以得出原始数据序列X011的预测值为：

?????????xk?1?xk?1?xkk?1,2...n?1) ??????(6.2.2 灰色模型的预测

在已知各投资项目独立投资和一些同时投资的项目从1986年到2005年到期利润率的前提下，应用灰色预测对06—10年的到期利润率进行预测。预测结果见表四、五。

表四：各投资项目独立投资时06—10年的到期利润率的预测值 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 06年 0.14252 0.22921 0.36407 0.51863 1.0306 1.366 4 .2666 1.8849 07年 0.14183 0.23858 0.36434 0.55297 1.0192 1.4694 4.5933 1.9225 08年 0.14114 0.24834 0.3646 0.58959 1.0079 1.5806 4.945 1.9609 09年 0.14046 0.25851 0.36487 0.62863 0.99673 1.7003 5.3236 10年 0.13978 0.26908 0.36513 0.67026 0.9857 1.829 5.7312 2 2.0399 表五：一些同时投资的项目从06—10年的到期利润率的预测值 项目 06年 07年

同时投资3、4 3 0.46264 0.46243 4 0.47879 0.48282 同时投资5、6 5 1.3143 1.438 8

同时投资5、6、8 5 8 0.20946 0.88149 0.84306 6 6 0.3823 0.33205 -1.7136 -2.0347 0.1919