3.2.1 直线的点斜式方程

3.2.1 直线的点斜式方程参考答案

直线的点斜式方程

直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. [解] 直线l经过点P0(－2，3)，斜率是k＝tan 45°＝1，

代入点斜式方程得y－3＝x＋2.

画图时，只需再找出直线l上另一点P1(x1，y1)， 例如，取x1＝－1，y1＝4，得P1的坐标为(－1，4)， 过P0，P1的直线即为所求，如图． 1．写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点B(－2，2)，倾斜角是30°； (2)经过点C(0，3)，倾斜角是0°. 解：(1)因为倾斜角是30°，所以直线的斜率是故直线的点斜式方程为y－2＝

3

(x＋2)． 3

3， 3

(2)因为倾斜角是0°，所以直线的斜率为0，则直线的点斜式方程为y－3＝0(x－0)，即y＝3.

直线方程的斜截式及应用

已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， 试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？ (2)l1⊥l2的条件是什么？

[解] (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.

(2)若l1⊥l2，则k1k2＝－1； 反之，k1k2＝－1时，l1⊥l2. 方法归纳

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2?k1k2＝－1.

2．判断下列各对直线是否平行或垂直： 11

(1)l1：y＝x＋3，l2：y＝x－2；

2253

(2)l1：y＝x，l2：y＝－x.

351

解：(1)∵k1＝k2＝，3≠－2，

2∴l1∥l2.

1

53

(2)∵k1＝，k2＝－，k1k2＝－1，

35∴l1⊥l2.

已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝________．

[解析] 因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1， 所以a＝±1.

又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合， 则3a≠3，即a≠1，故a＝－1. [答案] －1

1

3．已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为( )

2A．4 C．－2

解析：选C．因为l1∥l2，所以a2－3＝1， a2＝4，所以a＝±2.

又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合， 所以a≠2，故选C．

B．2 D．±2

1

已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．

61

[解] 设直线方程为y＝x＋b，

6则x＝0时，y＝b； y＝0时，x＝－6B． 1

由已知可得·|b|·|－6b|＝3，

2即6|b|2＝6，∴b＝±1.

11

故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.

66

A组训练

1．过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )

A．x＝1 B．x＝3 C．y＝1 D．y＝3

解析：选A．因为过点(1，3)且斜率不存在的直线垂直于x轴，故所求直线方程为x＝1. 2．直线y＝－2x－1的斜率与纵截距分别为( ) A．－2，－1 B．2，－1 C．－2，1 D．2，1 解析：选A．由y＝－2x－1可知直线的斜率为－2， 令x＝0，得y＝－1，故纵截距为－1. 3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝A．x＝－1 C．y－1＝2(x＋1) 解析：选C．因为直线y＝2

x－2的斜率的2倍的直线方程是( ) 2

B．y＝1

D．y－1＝22(x＋1)

22x－2的斜率为， 22

2

故所求直线的斜率是2，

则由点斜式得所求直线方程为y－1＝2(x＋1)． 1

4．直线y＝ax＋的图象可能是( )

a

1

解析：选B．当a>0时，>0，故A不合适；

a1

当a<0时，<0，

a

故B适合而D不适合．

5．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：选B．因为两直线平行，则a＝2－a，即a＝1， 经检验a＝1适合条件． 6．倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________． 解析：所求直线的斜率为k＝tan 30°＝故所求直线方程为y－2＝即y＝

3

x＋2. 3

3

x＋2 3

3

(x－0)， 3

3， 3

答案：y＝7．已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________． 解析：因为l1⊥l2，kl2＝1， 所以kl1＝－1，

则所求直线方程为y－1＝－(x－2)． 答案：y－1＝－(x－2)

8．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________． 解析：

如图，直线y＝kx＋2过定点(0，2)，若直线不过第三象限，则k≤0. 答案：(－∞，0]

9．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－直线l1和l2的方程．

3

3

，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求3

解：

直线l1的方程是y－2＝ －

3

(x＋1)， 3

3＝tan α1，∴α1＝150°. 3

即3x＋3y－6＋3＝0. ∵k1＝－

如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°， 得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，

∴k2＝tan 120°＝－3，

∴l2的方程为y－2＝－3(x＋1)， 即3x＋y－2＋3＝0.

10．求满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角为直线y＝－3(x－1)的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10；

1

(2)在x轴上的截距为4，而且与直线y＝x－3垂直．

2解：(1)直线y＝－3(x－1)的斜率为－3， 由tan α＝－3，得倾斜角α＝120°， 故所求直线的斜率k＝tan 60°＝3， 直线方程为y＝3x－10.

(2)在x轴上的截距为4，故直线过点(4，0)， 1

与直线y＝x－3垂直，故斜率为－2，

2由直线的点斜式得直线方程为y＝－2(x－4)．

B组训练

1．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )

解析：选C.法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；

(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；

(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．

法二：(排除法)A选项中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B，D，从而得C正确．

2．直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．

4

解析：将直线方程y－m＝(m－1)(x＋1)变形为 y＝(m－1)x＋(2m－1)，

由于l在y轴上的截距为7，则2m－1＝7，解得m＝4. 答案：4

3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程． 3

解：由题意知，直线l的斜率为，

23

故设直线l的方程为y＝x＋b，

2

2

l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，

323所以－b－b＝1，解得b＝－，

3533故直线l的方程为y＝x－. 25

4．等腰△ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．

解：直线AC的方程为y＝3x＋2＋3. ∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°， ∴BC的倾斜角α为30°或120°. 当α＝30°时，BC方程为y＝∠A平分线倾斜角为120°，

∴∠A平分线所在直线方程为y＝－3x＋2－3. 当α＝120°时，BC方程为y＝－3x＋2－33， ∠A平分线倾斜角为30°， ∴∠A平分线所在直线方程为y＝

33

x＋2＋. 333

x＋2＋3， 3

5