北京大学量子力学期末试题

S11证明：S2122?S12?S2222?1?1

S11S12??S21S22??0这表明S是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

???V?X???0?V?05、求粒子在下列位场中运动的能级

x?00?x?a x?a???V?X???122??x??26、粒子以动能E入射，受到双?势垒作用

x?0x?0

V?x??V0??(x)??(x?a)?

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态，

V1(x)12?kx2k?0

（1）若弹性系数k突然变为2k，即势场变为

4

V2(X)?kx2

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场V2基态几率；

（2）势场V1突然变成V2后，不进行测量，经过一段时间?后，势场又恢复成V1，问?取什么值时，粒子仍恢复到原来V1场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的?x

2,?p2x，并验证测不准关系。

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第四章 量子力学中的力学量

122px?p2?p1、 若H?yz?V(x,y,z) 2?证明：[H,Px]?

??i??V, ?xpx, ?[H,x]??i?2、设

?q,p??i?,f(q)是q的可微函数，证明

2?q,pf(q)??2ihpf,

?（2）?p,pf(q)??pf?;

i（1）

223、证明

?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]]?0 [A?,B?是厄密算符 4、如果，A（1）证明

?n??,B??A?B,iA???是厄密算符；

?B?是厄密算符的条件。 （2）求出A5、证明：

??e?L??1L?,?1L??,A?,L?,A?,L?,L?,AeLA?A?L2!3!?,B?都对易，证明 6、如果A,B与它们的对易子A??B?1A?,B?A?AB2e?e?e

??????????????????

???（提示，考虑f(?)?e?A?e?B?e???A?B?,证明

?df???A,B?f然后积分） d? 6

?和A?7、设?是一小量，算符A?1存在，求证

???B??1??A??1B??1??2A??1??2A??1B??1B??1?? ?)?1?A?A?A?A(A8、如uni是能量En的本征函数（i为简并指标），证明

??uni?xpx?pxx?unjdx?0

从而证明：i?unipxxunjd?9、一维谐振子处在基态

???ij 2??x??a?1/2e?a2x2/2

求： （1）势能的平均值A?1m?2X2; 22Px/2m;

（2）动能的平均值T?（3）动量的几率分布函数

m?其中a?

?10、若L?(1)

?Lx?iLy,证明

?,L?]???L? [Lz???2,L?]?[L?2,L?]?0 [L??(2)

?Y?CYL?lm1lm?1

?Y?CYL?lm2lm?1

(3)

1??22???L?Lx?Ly?L?L??L??2??

2211、设粒子处于Ylm(?,?)状态，利用上题结果求?lx,?ly

12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的?X2随时间的变

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