二次三项式因式分解复习

二次三项式因式分解复习

复习目标：

（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式

多项式ax2?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式． 在多项式x?6xy?8y中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

22在多项式2ab?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是

22关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般

规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式x2?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式

x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1?a2?a，c1?c2?c，且a1c2?a2c1?b，

2（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，

2那么ax?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)它的特征

是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：5x?6xy?8y?(x?2)(5x?4)

223．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 教学过程： 一、师生互动 1、把下列各式分解因式：

（1）x2?2x?15；（2）x2?5xy?6y2．

点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．

解：（1）x2?2x?15?(x?3)(x?5)； （2）x2?5xy?6y2?(x?2y)(x?3y)． 2、把下列各式分解因式：

（1）2x2?5x?3；（2）3x2?8x?3．

点悟：我们要把多项式ax2?bx?c分解成形如(ax1?c1)(ax2?c2)的形式，这里

a1a2?a，c1c2?c而a1c2?a2c1?b．

解：（1）2x?5x?3?(2x?1)(x?3)； （2）3x?8x?3?(3x?1)(x?3)．

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 3、把下列各式分解因式：

42（1）x?10x?9；

22（2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)； （3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．

点悟：（1）把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式； （2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； （3）以(a?8a)为整体，转化为关于(a?8a)的二次三项式． 解：（1） x?10x?9?(x?1)(x?9) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．

（2） 7(x?y)?5(x?y)?2(x?y)

32422222?(x?y)[7(x?y)2?5(x?y)?2]

＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．

（3） (a2?8a)2?22(a2?8a)?120

?(a2?8a?12)(a2?8a?10) ?(a?2)(a?6)(a2?8a?10)

点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 4、 分解因式：(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90．

点悟：把x2?2x看作一个变量，利用换元法解之． 解：设x2?2x?y，则 原式＝(y－3)(y－24)＋90

?y2?27y?162

＝(y－18)(y－9)

?(x2?2x?18)(x2?2x?9)．

点拨：本题中将x2?2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，y2?27y?162?(y?18)(y?9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．

例5 分解因式6x4?5x3?38x2?5x?6． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．

11)?5(x?)?38] 2xx11?x2[6(x?)2?5(x?)?50]，

xx1令x??y，则

x原式?x2(6y2?5y?50)

22解：原式?x[6(x??x2(2y?5)(3y?10)

23?x2(2x??5)(3x??10)

xx22?(2x?5x?2)(3x?10x?3)

?(x?2)(2x?1)(x?3)(3x?1)．

点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．

例6 分解因式x?2xy?y?5x?5y?6．

点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式． 解法1： x?2xy?y?5x?5y?6

2222?(x2?2xy?y2)?(?5x?5y)?6

?(x?y)2?5(x?y)?6

?(x?y?1)(x?y?6)．

解法2： x2?2xy?y2?5x?5y?6

?x2?(2y?5)x?y2?5y?6 ?x2?(2y?5)x?(y?6)(y?1)

?[x?(y?6)][x?(y?1)]

＝(x－y－6)(x－y＋1)．

例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)

?ac2?a2c?b2c?bc2?ab(a?b) ?c2(a?b)?c(a2?b2)?ab(a?b) ?c2(a?b)?c(a?b)(a?b)?ab(a?b) ?(a?b)[c2?c(a?b)?ab]

＝(a－b)(c－a)(c－b)．

点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．

422例8 已知x?6x?x?12有一个因式是x?ax?4，求a值和这个多项式的其他因

式．

422点悟：因为x?6x?x?12是四次多项式，有一个因式是x?ax?4，根据多项式的242乘法原则可知道另一个因式是x?bx?3（a、b是待定常数），故有x?6x?x?12?(x2?ax?4)?(x2?bx?3)．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．

x4?6x2?x?12

2解：设另一个多项式为x?bx?3，则

?(x2?ax?4)(x2?bx?3)

?x4?(a?b)x3?(3?4?ab)x2?(3a?4b)x?12，

43242∵ x?6x?x?12与x?(a?b)x?(3?4?ab)x?(3a?4b)x?12是同一个多

项式，所以其对应项系数分别相等．即有

由①、③解得，a＝－1，b＝1， 代入②，等式成立．

2∴ a＝－1，另一个因式为x?x?3．

点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．