高等数学教材

这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则

注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，

可利用此法则求解。

注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当

例题：求

则

解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它

存在且二者的极限相同；而并不是

不存存在，

在时，

是未定式中的了。

型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则

件破列。

也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条

函数单调性的判定法

函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？

例题：求

我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.

解答：此题为未定式中的解

型求解问题，利用罗彼塔法则来求

另外，若遇到

、

判定方法：

、

、

、

等型，通常

设函数

在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

＞0，那末函数

在[a,b]上

是转化为

型后，在利用法则求解。

a)：如果在(a,b)内单调增加；

例题：求

型，

解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为

b)：如果在(a,b)内单调减少.

＜0，那末函数在[a,b]上

故可先将其转化为

型后在求解，

例题：确定函数

的增减区间.

解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)

方法一： 设函数

其导数为： 当x＞0时， 当x＜0时，

，因此可以判出：

情况一：若当x取x0左侧邻近值时，

＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；

邻近值时，

＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；

则函数

注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。

函数的极值及其求法

邻近值时，

在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：

则函数

设有函数

，容易知道点x=1及

在x0点取极小值。

＞0，

情况一：若当x取x0左侧邻近值时，

＜0，当x取x0右侧

在x0点取极大值。

＜0，

＞0，当x取x0右侧

在x0点的邻域可导，且

.

注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求

；

x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜

均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些

b)：求 c)：判断值。

例题：求

的全部的解——驻点；

在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极

点有这些性质呢？

事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义 设函数

在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.

极值点

解答：先求导数

若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，

＜

则说

均成立，

再求出驻点：当

是函数

的一个极大值；

判定函数的极值，如下图所示

＞

则说

均成立， 是函数

的一个极小值.

若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，

时，x=-2、1、-4/5

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使

的x点，称为函数

的驻点。

方法二：

设函数在x0点具有二阶导数，且时

判断极值点存在的方法有两种：如下

.

则：a)：当 b)：当 c)：当

＜0，函数＞0，函数

在x0点取极大值； 在x0点取极小值；

极值是局部的。要求

在[a,b]上的最大值、最小值时，可求出

的值，从中取

开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点得最大值、最小值即为所求。

=0，其情形不一定，可由方法一来判定.

例题：求函数值、最小值。

，在区间[-3，3/2]的最大

解答：

在此区间处处可导，

先来求函数的极值

，故x=±1，

再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即

例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。 解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。

，

故函数的最大值为

，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； ＜0，故此点为极大值点；

。

例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？

，函数的最小值为

因为

，

，

为所求。

＞0，故此点为极小值点。 函数的最大值、最小值及其应用

解答：由题意可知： 面积

为一常数，

在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：

在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。 故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。

怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的

定理一：设函数

故：

时，用料最省。

上凹(或向下凹)的充分必要条件是：

在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向

导数 定理二：设函数

在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。

在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导

数和二阶导数；那末：

若在(a,b)内，的曲线是下凹的；

＞0，则在[a,b]对应

若在(a,b)内，

的曲线是上凹的；

＜0，则

在[a,b]对应

例题：判断函数的凹向

解答：我们根据定理二来判定。

因为

曲线的凹向与拐点

通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：

拐点的定义 (0,+∞)内，

＜0，

，所以在函数的定义域

故函数所对应的曲线时下凹的。

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。

拐定的判定方法

如果

作切线，如果曲线弧在所有切线的下

来判定 (1)：求 (2)：令

在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤的拐点。

；

=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；

在x0左、

对区间I的曲线

面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。

曲线凹向的判定定理

(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查