中考数学第22题解析+(1)

22.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. （1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________. （2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想. B B(E) B D M N

E D

A C

A C A(D) C

图1 图2

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.

若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE， 请直接写出相应的BF的长. ．．．．

图3

A E D

C E B 【解析】

图4 试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是

等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60o,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30o角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用\角角边\证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明; 试题解析：

（1）①线段DE与AC的位置关系是平行 ．②S1与S2的数量关系是相等．

证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC， ∴DN=CF,DN=EM． ∴CF=EM． 图2 ∵∠ACB=90o,∠B=30o，

∴AB=2AC． 又∵AD=AC, ∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM， 图3

∴S1=S2．

证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H. ∵∠DCE=∠ACB=90o∴∠DCG+∠ACE=180o． 又∵∠ACH+∠ACE=180o,∴∠ACH=∠DCG． 又∵∠CHA=∠CGD=90o,AC=CD, ∴△AHC≌△DGC． ∴AH=DG

CE=CB,∴S1=S2．

又∵CE=CB,∴S1=S2．

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°

，∴∠CDF1=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=0.×60°=30°， 又∵BD=4，∴BE= 故BF的长为

或

∴BF1= ．

，BF2=BF1+F1F2=

22.（10分）（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若

AFCD?3，求的值． EFCG（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________，（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若

CD的值是 ． CGAFCD?m（m＞0），则的值是

AEFCGDGAF（用含m的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.

DGFBE图1CBE图2CAFABBC?a,?bBE若CD（a＞0，b＞0），则EF的值是 （用含

a、b的代数式表示）．

322．（1）AB=3EH；CG=2EH；． （3分）

2m（2）

2． …………………………（4分）

作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．

∴ABAF??m,　∴AB?mEH． EHEFEDFBC∵AB=CD，∴CD=mEH． …………………...（5分） ∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．

ACGBC∴??2,∴CG?2EH． ........................................................................（.6分）EHBE

图3

CDmEHm∴??． .....................................................................................（7分） CG2EH2（3）ab．…………………………………………………..（10分） 【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．

22.（2011河南）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t. 又∵AE=t，∴AE=DF.……………2分 （2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.……3分 ∵AB=BC·tan30°=53?3?5,?AC?2AB?10. 3?AD?AC?DC?10?2.t

若使AEFD为菱形，则需AE?AD.即t?10?2t,t?即当t?10. 310时，四边形AEFD为菱形.…………………………………5分 35.………7分 2（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，t?②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°. 即10?2t?1t,t?4.………………………………………………………9分 25或4时，△DEF为直角三角形.……………………10分 2③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当t?