2000-2017考研数学二历年真题word版

( )

?100???(A) ?020? (B) ?001????100?

?? (C) 010???002????200??200??? (D)?? 010020?????002??001?????

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2?L?2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu?其中函数??可微，则?x?yy?(12) 微分方程ydx?x?3y2dy?0满足条件y(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为

2??x?1?1的解为y? .

2的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*? .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．(15)(本题满分 10 分)

已知函数f?x??(I)求a的值;

(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.

k1?x1?，记a?limf?x?，

x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)

求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.

D(19)(本题满分10分)

已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;

(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.

0x(20)(本题满分10分)

1?xx2 证明xln?cosx?1?,(?1?x?1).

1?x2(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1n?1的整数，在区间?(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.

n?????1?,1?内有且仅有一个实根； ?2?(22)(本题满分11 分)

a00??1?????11a0?，????

?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A；

(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解. ?1?0设A???0??a(23)(本题满分11 分)

?1?0已知A????1??0011??1?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2，

0a??a?1?(I) 求实数a的值；

(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

(A) 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将

所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．

（1）已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）

（A）k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C）k?3,c?4 （D）k?3,c??4

kx2f(x)?2f(x3)?（ ） （2）设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim3x?0x（A）?2f?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0 （3）函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y????y?e（A）a(e?x2?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）

?e??x) （B）ax(e?x?e??x)

（C）x(ae?x?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)

（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函数z?f(x)g(y)在

点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

（A）f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 （C）f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0

??0?0（6）设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I，J，K的大小关系为（ ）

（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I

?100???10?，（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记P1??1?001????100???P2??001?，则A=（ ）

?010??? （A）P1P2 （C）P2P1 1P2 （B）P1 （D）P2P?1?1,0,1,0)是方程组Ax?0的一个基础解系，（8）设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，若(1　则Ax?0A为A的伴随矩阵。

的基础解系可为（ ）

（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim??*T*?1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x（10）微分方程y?y?e（11）曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。

?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。

????e?kx,x?0,（12）设函数f(x)?? ??0，则?xf(x)dx? 。

??x?0,?0,（13）设平面区域D由直线y?x，圆x?y?2y及y轴所围成，则二重积分

22??xyd?? 。

D222（14）二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为 。

三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．

证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数F(x)?

（16）（本题满分11分）

?x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?lim?F(x)?0，试求?的取值范围。

x???x?0131?x?t?t?,??33 设函数y?y(x)由参数方程? 确定，求y?y(x)的极值和曲线y?y(x)的凹凸区间及拐点。

11?y?t3?t??33?

（17）（本题满分9分）

设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取得极值g(1)?1，求

?2z?x?y

。

x?1,y?1（18）（本题满分10分）

设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，

若

（19）（本题满分10分）

（I）证明：对任意的正整数n，都有

d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n （II）设an?1?

11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n（20）（本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x?y?2y(y?连接而成。

（I）求容器的容积；

（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

33（长度单位：m，重力加速度为gms，水的密度为10kgm）

22211)与x2?y2?1(y?)22

（21）（本题满分11分）

已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0，

??f(x,y)dxdy?a，其中

D