2000-2017考研数学二历年真题word版

2013

年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设cosx?1?xsin?(x),?(x)??2，当x?0时，??x? （ ）

（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小

2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn??f???1???（ ）

n????2???n???（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

x?sinx,x?[0,?)３．设f(x)??，F(x)??f(t)dt则（ ）

02,x?[?,2?]?（Ａ）x??为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x??为F(x)的可去间断点． （Ｃ）F(x)在x??连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x??可导．

1?,1?x?e??1????(x?1)４．设函数f(x)??，且反常积分?f?x?dx收敛，则（ ）

?1,x?e??1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2

５．设函数z?x?z?zy??（ ） f?xy?，其中f可微，则

y?x?yx22f(xy) （D）?f(xy) xx(x,y)|x2?y2?1?的第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy，则（ ） 6．设Dk是圆域D??（A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）

Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是

?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9． lim?2??x?0?ln(1?x)??? ． x?1x10．设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数

dx|y?0? ． dy11．设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???????????t为参数，则L所围成的平面图形的面积为 ．

6??6??x?arctant12．曲线上?对应于t?1处的法线方程为 ．

2??y?ln1?t3x2xx2x2x13．已知y1?e?xe,y2?e?xe,y3??xe是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足

y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 ．

14．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则

??A= ． 三、解答题

15．（本题满分10分）

当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n．

n16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成

的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求18．（本题满分10分）

设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'????1；

（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1． 19．（本题满分10分）

求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数f(x)?lnx?332x??dxdy． D1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．

（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设A???1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．

n??y?121x?lnx(1?x?e)． 42?1a??01???，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出所有矩阵C． ,B??????10??1b?23（本题满分11分）

?a1??b1?????22设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3)．记???a2?,???b2?．

?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2?????；

（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2．

22TT

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )

x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)L(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )

(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!

(3) 设an?0(n?1,2,3L),Sn?a1?a2?a3?L?an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有

0k?2 ( )

(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有

?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个?x?y充分条件是

( )

(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?

D ( )

(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?

?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ?c??c??c??c??2??3??4??1?( )

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ?

?002???