2000-2017考研数学二历年真题word版

（D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.

（5）设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线

y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点处曲线y?f1(x)的曲率大于曲线y?f2(x)的曲率，

则在x0的某个领域内，有 （A）f1(x)?f2(x)?g(x) （B）f2(x)?f1(x)?g(x) （C）f1(x)?g(x)?f2(x) （D）f2(x)?g(x)?f1(x)

ex（6）已知函数f(x,y)?，则

x?y（A）fx?fy?0 （B）fx?fy?0 （C）fx?fy?f （D）fx?fy?f

（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似

222（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2，则

''''''''TT?1?1TT?1?1（A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1

（D）a?1与a??2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

x32?arctan(1?x)的斜渐近线方程为____________. （9）曲线y?21?x

（10）极限lim

112n(sin?2sin?L?nsin)?____________.

n??n2nnn2x2（11）以y?x?e和y?x为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.

（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?(x?1)?232?x0f(t)dt，则当n?2时，f(n)(0)?____________.

（13）已知动点P在曲线y?x上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则

当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.

?a?1?1??110?????（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?_________. ???????1?1a????101??解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）

设函数f(x)??10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.

（17）（本题满分10分）

已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y) 的极值. （18）（本题满分10分）

22x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD

（19）（本题满分10分）

xx已知y1(x)?e，y2(x)?u(x)e是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的解，若u(?1)?e，u(0)??1，求

nu(x)，并写出该微分方程的通解。

（20）（本题满分11分）

3????x?cost?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体0?t??围成的平面区域，3?2???y?sint?2积和表面积。

（21）（本题满分11分）

3?3?cosx的一个原函数f(0)?0。 ]上连续，在(0,)内是函数

222x?3?3?（Ⅰ）求f(x)在区间[0,]上的平均值；

2已知f(x)在[0,（Ⅱ）证明f(x)在区间(0,

（22）（本题满分11分）

3?)内存在唯一零点。 211?a??1?0?????0a?，???1设矩阵A??1?，且方程组Ax??无解。

?a?11a?1??2a?2?????（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求方程组AAx?A?的通解。

（23）（本题满分11分）

TT?0?11???已知矩阵A??2?30?

?000???（Ⅰ）求A99

（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA。记B2100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组

合。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分中收敛的是（）

??（A）

?21dx （B）xx2t???2lnxdx (C)x???21dx (D)xlnx???2xdx xe(2)函数f(x)?lim(1?t?0sint)在(??,??)内（） x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

1???xcos?,x?0(??0,??0)，若f(x)在x?0处连续，则（） (3)设函数f(x)??x?0,x?0?（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2

(4) 设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3

(5).设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x2?y2，则

yx?f?f与?uu?1?vv?1依次是（）

u?1v?1（A）

1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 2222(6). 设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则

??f(x,y)dxdy=（）

D?2?d???（A）

41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr?（B）

??d??241sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr

?（C）

??d??341sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr

?111??1?????(7)．设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件为（）

?14a2??d2?????（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??

222(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中P=(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则

f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）

222222222222(A):2y1?y2?y3 (B) 2y1?y2?y3 (C) 2y1?y2?y3 (D) 2y1?y2?y3

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

?x?arctantd2y,则2? (9) 设?3dxy?3t?t?t?12x（10）函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f(n)(0)?

（11）设函数f(x)连续，?(x)??x20''xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?

'（12）设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= （13）若函数z?z(x,y)由方程ex?2y?3z?xyz?1确定，则dz(0,0)=

2（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B?A?A?E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．15、（本题满分10分）

设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值。

2 16、（本题满分10分）