湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学(理)试题Word版含解析

因为点在边而所以所以所以

，

上，所以，

只能为钝角，

，

．

18. 现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质

地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.

（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率； （2）用数学期望

分别表示这4个人中选择.

题目的人数，记

，求随机变量的分布列与

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则

，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为

；（2）的所有可能取值为0，3，4，

，

试题解析：

由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为， 记“这4个人中恰有人选择题目”为事件∴

，

.

，

，写出分布列，并求期望。

（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为（2）的所有可能取值为0，3，4，且

，

∴的分布列是

.

，

所以

19. 如图1，在矩形交

于点，

交

中，于.现将

. ，沿

，点

分别在边

上，且平面

，

，

折起，使得平面，得到图2.

图1 图2

（1）在图2中，求证：（2）在图2中，若点是线段值为.

【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段【解析】试题分析：(1)先证明

;

(2)建立直角坐标系,设式,结合二面角

,求出平面

、平面

的一个法向量,利用向量的夹角公

的四等分点.

,证明

平面

,从而可得

；

上的一动点，问点在什么位置时，二面角

的余弦

,再证明

的余弦值为,即可得出结论.

中，， ∴

，平面， ∴且

. ，平面

， ，∴四边形

为平行四边形. 平面

， 即

,

.

,

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形∴

∴在图2中，又∵平面∴

平面

∥

依题意，

∴∴

∥, ∴平面

， 又∵

， 又∵

中，，∴

平面

， ， ∴，.

. ，

（Ⅱ）如图1，在∵

∥

，

如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则

，

∴∵∴设设

，，∴为平面，则为平面

，，，

，

，

平面，

的法向量.

，

的法向量，则

即，可取，

依题意，有，

整理得∴当点在线段

，即的四等分点且

，∴，

时，满足题意．

20. 已知椭圆

的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）过点求证：

的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴

的直线与椭圆相交于为定值.

两点，设点，记直线的斜率分别为，

【答案】（1）；（2）证明见解析.

，

，所以，

，写出椭圆方程；（2）联，

【解析】试题分析：（1）由题意得到立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理

.

试题解析： （1）依题意，∵点∴∴

.

. ，

.

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ，

∴椭圆的方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.

设，，则为定值.

.

.

，

，

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：将

代入

整理化简，得

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设

则，.

又，，

所以