线性代数答案第三，四章 课后答案

T?a1?T?a2?A?B????aT?nTT??1???1T??b1??????TTT?b2???2???2?????A???B??

????????T?T?T????bn???s???s?因此 R?A?B??R?A??R?B? 12．证明 ?若B组线性无关 令B?(b1,?,br)A?(a1,?,as)则有B?AK

由定理知R(B)?R(AK)?min{R(A),R(K)}?R(K) 由B组:b1,b2,?,br线性无关知R(B)?r，故R(K)?r. 又知K为r?s阶矩阵则R(K)?min{r,s}

由于向量组B:b1,b2,?,br能由向量组A:a1,a2,?,as线性表示,则r?s ?min{r,s}?r

综上所述知r?R(K)?r即R(K)?r．

?若R(k)?r

令x1b1?x2b2???xrbr?0,其中xi为实数i?1,2,?,r

?x1???则有(b1,b2,?,br)????0

?x??r??x1???又(b1,?,br)?(a1,?,as)K,则(a1,?,as)K????0

?x??r????由于a1,a2,?,as线性无关,所以K?????x1??x2??0 ???xr??

?k11x1?k21x2???kr1xr?0?kx?k22x2???kr2xr?0?121?????????????即 ? （1）

?k1rx1?k2rx2???krrxr?0???????????????k1sx1?k2sx2???krsxr?0由于R(K)?r则(1)式等价于下列方程组:

?k11x1?k21x2???kr1xr?0??k12x1?k22x2???kr2xr?0 ?

???????????????k1rx1?k2rx2???krrxr?0k11由于

k21k22?k2r??kr1kr2?krr?0

k12?k1r?所以方程组只有零解x1?x2???xr?0.所以b1,b2,?,br线性无关, 证毕.

13．证明 集合V成为向量空间只需满足条件： 若??V,??V，则????V

若??V,??R，则???V

V1是向量空间，因为：

??(?1,?2,?,?n)T?1??2????n?0 ?1??2????n?0

T??(?1,?2,?,?n)T????(?1??1,?2??2,?,?n??n)

且(?1??1)?(?2??2)???(?n??n)

?(?1??2????n)?(?1??2????n)?0 故????V1

??R,???(?1,?2,?,?n)

??1???2?????n??(?1??2????n)???0?0故???V1

V2不是向量空间，因为：

(?1??1)?(?2??2)???(?n??n)

?(?1??2????n)?(?1??2????n)?1?1?2故????V2

??R,???(??1,??2,?,??n)

??1???2?????n??(?1??2????n)???1??

故当??1时，???V2 14．证明 设A?(a1,a2,a3)

0A?a1,a2,a31110111?(?1)0?111010101??2?0 1于是R(A)?3故线性无关.由于a1,a2,a3均为三维,且秩为3, 所以a1,a2,a3为此三维空间的一组基,故由a1,a2,a3所生成的向量空间 就是R.

15．证明 设V1?x?k1a1?k2a2k1,k1?R

3??V2??x??1?1??2?2?1,?1?R?

任取V1中一向量,可写成k1a1?k2a2, 要证k1a1?k2a2?V2,从而得V1?V2 由k1a1?k2a2??1?1??2?2得

?k1??k1??k2?k?2?k2?2?1??2??1?2?1?k1?k2??

?3?1??2???1??2?k1?3?1??2上式中,把k1,k2看成已知数,把?1,?2看成未知数

20D1??11?2?0 ??1,?2有唯一解

?V1?V2

同理可证: V112?V1 (?D2?10?0)

故V1?V2

12316．解 由于a1,a2,a3??111??6?0 032即矩阵(a1,a2,a3)的秩为3

故a31,a2,a3线性无关，则为R的一个基. 设v1?k1a1?k2a2?k3a3，则

?k?1?2k2?3k3?5?k1?2??k?1?k2?k3?0??k2?3 ??3k?2?2k3?7?k3??1故v1?2a1?3a2?a3 设v2??1a1??2a2??3a3，则

??1?2?2?3?3??9?k?1?3???1??2??3??8???k2??3 ??3?2?2?3??13??k3??2故线性表示为

v2?3a1?3a2?2a3

??1?8102???117．.解 (1)A??245?1?初等行变换?~?0??386?2????0

041?34000?1??4?0??