§16.1 平面点集与多元函数 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数

例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?

(i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是―非空连通闭集”；

(ii)要判别一个点集D是否是闭域, 只要看其去除边界后所得的是否为一开域, 即

“若D\\?D为开域,则D必为闭域”.答(i) 例如取S??(x,y)|xy?0?,这是一个非空连

通闭集. 但因它是G??(x,y)|xy?0?与其边界(二坐标轴) 的并集(即S?G??G),从而G 不是开域,故S不是闭域(不符合闭域的定义).

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(ii) 如图所示, (a)中的点集为D; (b)中的点集为

E?D\\?D;(c) 中的点集为F?E??E.易见

D(a)

E(b)

F(c)

E 为一开域, 据定义F 则为闭域；然而

D?E??E?F,故D不是闭域，从而?(D\\?D)与?D不一定相同.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数

2R上的完备性定理

1. 平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理, 构成了一元函数极限理论的基础. 现在把这些定理推广到R, 它们同样是二元函数极限理论的基础.

定义12

设{Pn}?R为一列点, P0?R为一固定点.

若???0,?N?N?,使当n?N时,Pn?U(P0;?),则称点列{ Pn } 收敛于点P0 ,记作

limPn?P0或Pn?P0(n??).n??22数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数

当Pn与P0分别为(xn,yn)与(x0,y0)时,显然有n??limPn?P0?limxn?x0且limyn?y0;n??n??若记?n??(Pn,P0),同样地有

n??limPn?P0?lim?n?0.n??由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.

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