2019-2020学年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)(有答案)

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∴sinB=∵cos∠BCD=

=．

=

．

=

．

，∴sin∠BCD=

∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB=

19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=

CD．

（I）求证：平面CDE⊥平面ADE； （Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（I）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CDE⊥平面ADE；

（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．

【解答】证明：（I）∵CD=DE=2AB，CE=∴设CD=DE=2AB=2，则AB=1， 则CE=2

，

）2=CE2，

CD．

∵CD2+DE2=4+4=8=（2

∴△CDE是直角三角形， 则CD⊥DE，

∵AD⊥CD，AD∩DE=D， ∴CD⊥平面ADE； ∵CD?平面CDE，

.

.

∴平面CDE⊥平面ADE；

（Ⅱ）建立以D为坐标原点，DC，DE分别为x，y轴，过D作垂直平面CDE的直线为y轴的空间直角坐标系如图：

则D（0，0，0），C（2，0，0），E（0，2，0），A（0，1，则平面CBE的法向量为=（x，y，z）， =（﹣1，1，﹣则

，得

），

=（﹣2，2，0），

，即

，

），B（1，1，

），

则平面CBE的法向量为=（1，1，0）， 设平面BEA的法向量为=（x，y，z）， 则则

=（1，0，0），

得

，

，x=0，即=（0，

=

，1），

=

令z=1，则y=

则cos＜，＞=

即二面角C﹣BE﹣A的余弦值是=．

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|，证明直线l过定点． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

.

.

（Ⅱ）运用三角形的相似的判定和性质定理，可得∠MAN=90°，联立方程组

，设M（x1，y1）

N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，得到，7m2+16km+4k2=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， 又a2﹣b2=c2， 且

+

=1，

， +

=1；

解得a=2，c=1，b=可得椭圆的方程为

（Ⅱ）证明：由AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|， 可得Rt△ADM∽Rt△DNA，

即有∠DNA=∠MAD，即∠MAN=90°， 由

，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），

可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0， x1+x2=﹣

，x1x2=

，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，

即4k2＞m2﹣3， 由AM⊥AN，可得

?

=﹣1，

即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0， 即（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0， 即有（k2+1）?

+（mk﹣2）（﹣

）+m2+4=0，

化简可得7m2+16km+4k2=0，

m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0， 当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0）， 直线l过定点（，0）；

当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）． 由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意，

.

.

当直线的斜率不存在时，也成立．

根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．

21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若关于x的方程f（x）=x2﹣x+a有唯一实根，求（1+lna）a2的值； （Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：

＜a＜

；

（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+ex，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）设h（x）=lnx﹣x2﹣（a﹣）x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值=﹣lna+

﹣1=0；从而求出代数式的值；

（Ⅱ）求出切线l的方程，得到a═的单调性证明即可；

﹣，且lnx1﹣1+

﹣=0，令m（x）=lnx﹣1+﹣，根据函数

（Ⅲ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣x+a， ∴lnx﹣x2﹣（a﹣）x=0，

设h（x）=lnx﹣x2﹣（a﹣）x，则h′（x）=﹣

，

a＞0时，h（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减， 则h（x）max=h（）=﹣lna+∵h（x）=0有唯一实根， ∴x0=且h（x）max=h（）=﹣lna+

，∴（1+lna）a2=；

﹣1=0；

﹣1，

故1+lna=

（Ⅱ）证明：∵过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直， ∴切线l的斜率为k=，方程是y=x， 设l与y=f（x）的切点为（x1，y1），

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