高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定导学案 (2)

∴BD⊥AM，BD⊥CM．

又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．

?∵AO ≠ 平面ACM，∴BD⊥AO．

又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．

【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为

另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．

例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．

【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO． 由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求． 在Rt △EOA中， EO?112 ， EF?AD1?22215， AE?()2?12?22sin∠EAO =

EO10． ?AE510． 5所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为【评析】求直线和平面所成角的步骤： （1）作——作出斜线和平面所成的角； （2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；

（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形） （4）答．

5

6