高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定导学案 (2)

第一课时 直线与平面垂直的判定

（一）教学目标1．知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.

2．过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点

重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理； （2）直线和平面所成的角.

难点：直线与平面垂直判定定理的探究.教学过程 新课导入 教学内容 问题：直线和平面平行的判定方法有几种？ 一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面?互相垂直，记作l⊥?.直线l叫做平面的垂线，平面?叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图. 师生互动 师投影问题，学生回答.生：可用定义可判断，也可依判定定理判断. 设计意图 复习巩固 探索新知 师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明. 培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论. 探索新知 二、直线和平面垂直的判定师：下面请同学们准备一培养 1

1．试验 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？ 块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面?垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想. 学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论. 典例剖析 例1 如图，已知a∥b，a⊥?，求证：b⊥?.证明：在平面?内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥?，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为m??,n??，m、师：要证b⊥?，需证b与?内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面?内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直. 巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力. n是两条相交直线，b⊥?. 探索新知 二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面?相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的. 借助多媒体讲授，提高上课效率. 2

AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角. 典例剖析 师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的– A1B1C1D1中，求A1B角，关键在于过B点作出（找和平面到，面A1B1CD的垂线，作出（找A1B1CD所到）了面A1B1CD的垂线，直线成的角. A1B在平面A1B1CD内的射影就分析：知道了，怎样过B作平面找出直线A1B在平面A1B1CD内A1B1CD的垂线呢？ 的射影，就可以求出A1B和平面生：连结BC1即可. A1B1CD所成的角. 师：能证明吗？ 解：连结BC1交B1C于点O，学生分析，教师板书，共连结A1O. 同完成求解过程. 设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中， 例2 如图，在正方体ABCD 点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤. A1B?2a，BO?所以BO?2a， 21A1B， 2∠BA1O = 30° 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：随堂练习 VB⊥AC. 学生独立完成 答案： 巩固1．略 所学知识 2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点 3

O是△ABC的垂心. 3．不一定平行. 4．AC⊥BD. 2．过△ABC所在平面?外一点P，作PO⊥?，垂足为O，连接PA ，PB，PC. （1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心. （2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心. （3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心. 3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 4．如图，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？ 归纳总结 1．直线和平面垂直的定义判定 2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善. 3．线线垂直线面垂直 学生归纳总结教师补充 巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力. 强化知识 提升能力 课后作业 2.7 第一课时 习案 学生独立完成 备选例题 例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．

【解析】连结AM

∵AB = AD，CB = CD，M为BD中点．

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