高考数学一轮复习 第1讲 相似三角形的判定及有关性质同步检测 文 新人教A版选修41

选修4-1 几何证明选讲

第1讲 相似三角形的判定及有关性质

一、填空题

1．如图，已知M是? ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为________．

11

解析 S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD，

24由BM∥CD，得△DCE∽△BME， 则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1， 所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3， 2

即S△DME＝S△BMD，又S△DME＝S△BCE，

34

所以S阴影＝2S△DME＝S△BMD

3411

＝×S?ABCD＝S?ABCD， 343即S阴影∶S?ABCD＝1∶3. 答案 1∶3

2．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________． 1

解析 易知EF＝(AD＋BC)，

2

EM＝AD.FN＝AD.

又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak.则BC＝bk. 1k2m∵EF＝(AD＋BC)，∴m＝(a＋b)，∴k＝.

22a＋b11∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak

22＝m－ak＝答案

1

212

m（b－a）

.

a＋bm（b－a）

a＋b3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________. 解析 ∵AB∥CD∥EF，

1

∴＝，

ABBCBCCD＝，

EFCFBFEF4BCBC12∴＝，＝， EFBC－BFBFEF∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，

BC112

∴＝＝，∴EF＝3. BF4EF答案 3

4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________.

解析 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝

BFFCGC，又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的BF1

中位线，故BF＝FG，因此＝.

FC2

1答案

2

5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．

AE11

解析 ∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，

AB22

在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝

3

AB， 2

又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝故△ADE与△ABC的相似比为1∶3. 答案 1∶3

AEAC13

.

1

6. 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交

2

BF于M，则BM＝________，CG＝________.

1AB解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴

2AD1BMABBM1

＝，＝.∴＝，∴BM＝4. 4DHAD164

取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，

2

11

∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.

2211

同理：CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.

22答案 4 15

7．如图所示，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE的长为________．

解析 ∵AE∥BC，AD＝DC， ∴＝＝1，∴AE＝CF. ∵AE∥BF，BG∶GA＝3∶1，∴＝答案 4

8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、

AEADCFDCBFBG3BC2

＝，∴＝.∵BC＝8，∴AE＝4. AEGA1AE1

BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.

解析 ∵E是AB的中点， ∴AB＝2EB.

∵AB＝2CD，∴CD＝EB.

又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．

?∠DEM＝∠BFM，?

∴CB∥DE，∴?

??∠EDM＝∠FBM，

∴△EDM∽△FBM.∴＝. ∵F是BC的中点，∴DE＝2BF. 1

∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.

3答案 3 二、解答题

1

9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝

311

AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证： 33(1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC.

证明 设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.

DMDEBMBF 3

(1)CECB＝

2a32a＝23，CF2a2

CA＝3a＝3.

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝2a， 故AE＝

aAD2a2EF2a＝

22，BF＝22a＝2

， ∴AE＝ADEFFB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC.

10．如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.

解 如图，过D作DG∥AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)．

∵DGED2BC＝EB＝3

， ∴DG＝23

BC.

∵BC＝123AC，∴DG＝9

AC.

∴DFDG22

AF＝AC＝9，∴DF＝9

AF， 从而AD＝7

9AF，故AD∶DF＝7∶2.

4