学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学题一 集合与简易逻辑（教师版）

黄金试题

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专题一 集合与简易逻辑

【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布

高考对集合的考查有两种主要形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用。从涉及的知识上讲，常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势。

高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等知识点为主，难度不大，多以容易题为主。从09年的高考题看高考命题仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查。题目以选择填空题为主，重点考查学生的推理能力。

【考点pk】名师考点透析

考点一、集合的概念 【名师点睛】1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（）22

集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描述法。2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用?或?表示；

?（2）集合与集合的关系，用?，??，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A?B时，称A是B的真子

集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合

{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 4、注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论

【试题演练】

1、下面四个命题正确的是

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（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

（C）0与{0}表示同一个集合 （D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。

2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝ ．解：由B?A，且m2不可能等于－1，可知m2＝2m－1，解得：m＝1。

【试题演练】

二、集合的运算【名师点睛】

1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。

【试题演练】

3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A?B等于（ ）

(A) {x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x?－3｝ (D) ｛x|x?1｝解：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x?1｝，集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，A?B是指集合A和集合B的公共部分，故选（A）。

例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电

图1

话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )

A. 60 B. 70 C. 80 D. 90

图2

解：画出Venn图，如图2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选（C）。

5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A.A?B B.B?C C.A∩B=C D.B∪C=A解：由题意可知，应选（D）。

三、逻辑联结词【名师点睛】

1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

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3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

4．命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判定.��

【试题演练】

2q:方程4x2?4(m?2)x?1?0无实根．6、已知命题p:方程x?mx?1?0有两个不相等的负数根；若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

???m2?4?0，?m?2．q:??16(m?2)2?16?16(m2?4m?3)?0，?1?m?3．解：p:???m?0，?p或q为真，p且q为假，?p真，q假或p假，q真．

?m?2，?m≤2，或?，故m≥3或1?m≤2．??1?m?3．?m≤1或m≥3，?四、 四种命题的关系【名师点睛】

1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

【试题演练】

7、（2008广东高考）命题“若函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数，则loga2?0”的逆否命题是（ ）

A、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数B、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数C、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

D、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A）。

五、充要条件【名师点睛】

1.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假

2.要理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等

3.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质

4.从集合观点看，若A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条

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件5.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

【试题演练】

8（2008安徽卷）a?0是方程ax?2x?1?0至少有一个负数根的（ ）

2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：当??22?4a?0，得a<1时方程有根。a<0时，x1x2?1?0，方程有负根，又a=1时，方程根为ax??1，所以选（B）。

9、（2008湖北卷）若集合P??（ ）1,2,3,4?,Q?x0?x?5,x?R,则：A. x?R是x?Q的充分条件，不是x?Q的必要条件B. x?R不是x?Q的充分条件，是x?Q的必要条件Cx?R是x?Q的充分条件，又是x?Q的必要条件.

??D.x?R既不是x?Q的充分条件，又不是x?Q的必要条件解：x?P?x?Q反之不然故选A10：已知p：|1－

x?1|≤2，q：x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若?p是?q的必要而不充分条件，求实数m的取3值范围.

思路分析 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知，命题若?p是?q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要

条件p：|1－

x?1x?1x?1|≤2?－2≤－1≤2?－1≤≤3?－2≤x≤1033322

q：:x－2x+1－m≤0?［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *∵p是q的充分不必要条件，

x?1∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集又∵m>0

3?1?m??2?m?1∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m∴?，∴m≥9，∴实数m的取值范围是［9，+∞)??1?m?10m?9??【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析

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