第5章习题

?ex80?cos(15?108t) E2?exA?cos(15?108t)

由于E1和E2恰好为切向电场，根据电场切向分量连续的边界条件，可以得到

A?80 Vm

?H1（2）根据麦克斯韦方程 ??E1???1

?t有

?H111?E1????E1??ey ?t?1?0?z??ey1?0[300?sin(15?108t?5z)?100?sin(15?108t?5z)]

所以

H1?ey[0.1592?cos(15?108t?5z)?0.0531?cos(15?108t?5z)]Am。

同理

?H211?E2????E2??ey，重复以上过程，可得 ?t?2?0?r?zE2?exAcos(15?108t?50z)。

5.12 设同轴线的内导体半径为a，外导体内半径为b，内外导体间为空气，内外导体为理

想导体，载有直流电流I，内外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。 解：分别根据高斯定理和安培环路定理，可以求出同轴线内外导体间的电场和磁场为

E=Urlnbaer和H=I2?re?， a?r?b

内外导体间任意横截面上的能流密度矢量为

S?E?H?UIb2?r2lnaez，

上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内外导体间任一横截面的功率为

P??S?S?dS?=?bUIb2?r2lnaa?2?rdr?UI

5.13 证明动态位?和A满足的达朗贝尔方程与电流连续性方程是一致的。

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证明：动态位?和A满足的达朗贝尔方程为

?2???????2???t?2 （1）

?2A?A???2???J （2）

?t2对方程（2）等号两边取散度，得到

2?A???2A???(??2)????(?J) （3）

?t假设媒质是均匀、各向同性和线性的，式（3）可以写为

?2???A???2(??A)?????J?t2 （4）

将洛伦兹条件??A?????，得到 ?0代入式（4）

?t???2???(???)???2(???)?????J

?t?t?t2即

?2?2????(?????2)?????J （5）

?t?t将式（1）代入式（5），得到

?即

??(?)???J ?t?????J??0 （6）

?t式（6）便是电流连续性方程的微分形式，它是由?和A所满足的达朗贝尔方程推导而得到的，所以说它们是一致的。

5.14 将下列用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或作相反的变换。 (1) E(2) E(3) E答案：

(1) E(x,y,z,t)?Re[exEme

j?x?exEm； ?exjEme?jkz；

?exE0cos(?t?kz)?ey2Emsin(?t?kz)。

?ej?t]?exEmcos(?t??x)；

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(2) E(x,y,z,t)?Re[exEmej(?kz)2?ej?t]?exEmcos(?t?kz?)。

2?ey2Emej(?t?kz?)2??(3) E(x,y,z,t)?Re[exEmej(?t?kz)]，

E(x,y,z)?(ex?ey2j)E0e?jkz。

5.15海水的电导率??4Sm，相对电容率?r?81。求海水在频率f?1kHz和

f?1GHz时的等效复电容率?c。

解：当

f?1kHz时

?10?94 ?c???j ?81??j3?36?2??10?7.16?10?10?j6.37?10?4??j6.37?10?4Fm

当

f?1GHz时

?10?94 ?c???j?81??j9?36?2??10?7.16?10?10?j6.37?10?10Fm

5.16一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体半径为b，长为l，电极间理想介质的介电常数为?。当外加低频电压U?Umsin?t时，求介质中的位移电流密度及穿过半径为

r(a?r?b)的圆柱面的位移电流。证明此位移电流等于电容器引线中的传导电流。

?lab

题图5.13 圆柱形电容器

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解：设内外导体间电流为I，对于恒定场，因为

Er?所以 UJr?ba?1I?2?rl，

??Erdr?Ibbrln?Errln，

2?rl?aa故

E?erUmsin?t。

rln(ba)因此位移电流密度为

Jd??D?E??Umcos?t???er， ?t?trln(ba)2?l??Umcos?t。

ln(ba)则穿过半径为r的柱面的位移电流为

Id??Jd?dS?Jd?2?rl?S又由于同轴电容器的电容为C?2??l，则连线中的传导电流为

ln(ba)

Ic?dqdU2??l?Umcos?t?C?。 dtdtln(ba)所以有

Id?Ic。

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