吉林省吉林市普通高中2017届高三数学下学期第三次调研测试试题理

所以应在“无所谓”态度抽取720?360?72人. ??????????4分 3600120?6?4人， 180（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知持“应该保留”态度的一共有180人， ?????????..?5分 所以在所抽取的6人中，在校学生为社会人士为60?6?2人， ?????????????????.??7分 180则第一组在校学生人数??1,2,3 122130C4C21C4C23C4C21,P(??1)?3?,P(??2)??P(??3)??, ???.??9分 33C65C65C65即?的分布列为: ? P 1 2 3 1 53 51 5???????????????.??11分 所以E??1?19.

131?2??3??2 ??????????????????.??12分 555（Ⅰ）解：作PB的中点N，连接MN，如图，（在图中画出）因此，N为PB的中点.

??2分

PA?底面ABCD，（Ⅱ）因为四棱锥P?ABCD中，底面为矩形，以A为坐标原点，以直线AB,AD,AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示： 则

A(0,0,0)P(0,0,1)D(0,1,0) C(2,1,0)11M(1,,)22 ???????????????????????4分

????设在线段CD上存在一点E(x,1,0)，则AE?(x,1,0) ???????? ??5分 ?设直线AE与平面AMD所成角为?，平面AMD的法向量为u?(x,y,z)，

9

则u??????AM?,u?????AD?

?即??x?1y?1z?0令z?2，则u??(?1?22,0,2) ?y?0??????????.?????????????7分

????则sin??|AE|???AE??u?||u?||?1010，所以x?1 所以在线段CD上存在中点E，

使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为

1010 ??????????8分 （Ⅲ）设平面CMD的法向量?v?(x',y',z')，则?v?????CM?,?v????CD?

??'1'1??x?2y?2z'?0令z'??1，则y'??1，所以?v?(0,?1,?1) ???.??10分 ???2x'?0??所以cos??v?u10|?v||?u|??5 所以二面角A?MD?C的平面角的余弦值为?105 ?????????..??12分 20. （Ⅰ）解：由抛物线C:y2?nx(n?0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为

52得2?n4?52，所以n?2，故抛物线方程为y2?2x，P(2,2) ????.??2分 所以曲线C在第一象限的图像对应的函数解析式为y?2x，则y'?12x ..??4分 故曲线C在点P处的切线斜率k?12?2?12，切线方程为：y?2?12(x?2)

令y?0得x??2，所以点Q(?2,0) ????????????????5分 故线段OQ?2 ????????????????????6分 （Ⅱ）解：由题意知l1:x??2，因为l2与l1相交，所以m?0

10

b?2b?2设l2:x?my?b，令x??2，得y??m，故E(?2,?m) ????.??7分 设A(x1,y1),B(x2,y2)， 由??x?my?b2?y2?2x消去x得：y?2my?2b?0

则y1?y2?2m,y1y2??2b ???????????????..??9分 直线PA的斜率为

y1?2x?2?y1?22y2?， 112?2y1?2同理直线PB的斜率为

2

y, 2?2

2?b?2直线PE的斜率为

m4 ???????????????????.??10分 因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列

2?b?2所以

22my2+y=21?2?2

4 即

b?22m?b?2?b?22m ??????????????????????..?11分

因为l2不经过点Q，所以b??2 所以2m?b?2?2m，即b?2

故l2:x?my?2，即l2恒过定点(2,0) ?????????????????12分 21.

（Ⅰ）解 函数f(x)的定义域为(0,??) ?????????????.??1分 因为f?x??x2??a?2?x?alnx

所以f'(x)?2x?(a?2)?a2x2?(a2(x?a)(x?1)x??2)x?a2x?x， ??.??3分 因a?2，a2?1

11

a2(x?)(x?1)a2由f'(x)?0，即?0得0?x?1或x?， ????????.4分

2xa由f'(x)?0得1?x?；

2aa所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(,??)，单调递减区间为(1,)； . ??5分

222x2?6x?4（Ⅱ）解法一：当a?4时，f(x)?

x'所以在点P处的切线方程为g(x)?2x0?6x0?4(x?x0)?x02?6x0?4lnx0 ??7分

x0令?(x)?f(x)?g(x)

则?(x)?x?6x?4lnx?(2x0?24?6)(x?x0)?(x02?6x0?4lnx0) x0易知?(x0)?0； ?????????????????????????.8分

又

?'(x)?2x??6?(2x0?4x42?6)?2(x?x0)(1?)=0 x0x0x则x?x0或x?29分

????????????????????? x0222?x0，令?'(x)?0，则x0?x?，所以函数?(x)在(x0,)上单调递减，x0x0x0当0?x0?2时，所以当x?(x0,22?(x))时，?(x)??(x0)?0，从而有x?(x0,)时，?0； x0x0x?x0222?x0，令?'(x)?0，则?x?x0，所以?(x)在(,x0)上单调递减，所以当x0x0x0当x0?2时，x?(22?(x),x0)时，?(x)??(x0)?0，从而有x?(,x0)时，?0； x0x0x?x0所以当x0?(0,2)?(2,??)时，函数y?f(x)不存在“类对称点”。 ??11分 当x0?2时，?(x)?'2(x?2)2，所以?(x)在(0,??)上是增函数， x当x?x0时，?(x)??(x0)?0，

?(x)x?x0?0

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