2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．

， ，

，

， ，

， ，

∴X的分布列为 X P 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为： Y1 P 7000 9000 11000 13000 15000 （元）．

选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为： Y2 P 10000 11000 12000 （元）．

∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20．（12分）已知抛物线C：x＝2py（p＞0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10．

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2

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|?|BQ|的取值范围． 【分析】（Ⅰ）可得抛物线的准线为方程．

，∴

，解得，p＝2，即可得抛物线的

（Ⅱ）设l：y＝kx+1．设A（

），B（x2，

），可得

．

即可得|AP|?|BQ|的取值范围．

．同理可得，，

【解答】解：（Ⅰ）已知M（m，9）到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10． ∵抛物线的准线为

，∴

2

，

解得，p＝2，∴抛物线的方程为x＝4y．…………………………（5分）

（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y＝kx+1． 设A（

），B（x2，

），由

消去y得，x﹣4kx﹣4＝0，

2

∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4． 由于抛物线C也是函数令y＝0，解得同理可得，∴

＝

2

的图象，且

，从而，

，则

．

．

，∴P

＝

．

∵k≥0，∴|AP|?|BQ|的取值范围为[2，+∞）．……………………………（12分） 【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题

21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）ln（x+1）﹣x﹣ax（a＞0）是减函数． （Ⅰ）试确定a的值；

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2

（Ⅱ）已知数列{an}，

．

，Tn＝a1a2a3?…?an（n∈N），求证：

*

【分析】（Ⅰ）求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f（x）是定义域内的减函数转化为f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a值；

（Ⅱ）由f（x）是减函数，且f（0）＝0可得，当x＞0时，f（x）＜0，得到f（n）＜0，即2（n+1）ln（1+n）＜n+2n．两边同除以2（n+1）得，即

．

得

到

Tn

＜

，

2

2

，则

．然后利用导数证

明 即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝aln（x+1）﹣2x． 由f（x）是减函数得，对任意的x∈（﹣1，+∞），都有f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．

设g（x）＝aln（x+1）﹣2x．

∵∴当∴g（x）在∴g（x）在

，由a＞0知，时，g'（x）＞0；当上单调递增，在时取得最大值．

，

时，g'（x）＜0， 上单调递减，

又∵g（0）＝0，∴对任意的x∈（﹣1，+∞），g（x）≤g（0）恒成立，即g（x）的最大值为g（0）． ∴

，解得a＝2；

（Ⅱ）由f（x）是减函数，且f（0）＝0可得，当x＞0时，f（x）＜0， ∴f（n）＜0，即2（n+1）ln（1+n）＜n+2n． 两边同除以2（n+1）得，

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2

2

，即．

从而

， ∴

①．

下面证记∴

．

，x∈[1，+∞）．

，

∵在[2，+∞）上单调递增，

，

∴h（'x）在[2，+∞）上单调递减，而

∴当x∈[2，+∞）时，h'（x）＜0恒成立，

∴h（x）在[2，+∞）上单调递减，即x∈[2，+∞），h（x）≤h（2）＝2ln4﹣ln3﹣3ln2＝ln2﹣ln3＜0，

∴当n≥2时，h（n）＜0． ∵

∴当n∈N时，h（n）＜0，即综上①②可得，

．

*

，

②．

【点评】本题考查利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明数列不等式，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（θ为参数）．在以

2

原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ＝4ρsinθ﹣3． （Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．

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