2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）

∴∴

，，

，

设O﹣ABC的外接球球心为M，半径为r， 利用Rt△BO′M列方程得：解得：r＝故答案为：

． ．

，

【点评】此题考查了圆锥外接球，二面角等，综合性较强，难度较大． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA+sinB+sinAsinB＝2csinC，△ABC的面积S＝abc． （Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．

【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可得2c＝sinC，由正弦定理化简已知等式可得a+b+ab＝c．由余弦定理得

2

2

2

2

2

，即可得解C的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c＝sinC，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c＝sin（A+

）+

，由范围

，可求

，利用正弦函数的

图象和性质可求△ABC的周长的取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由

2

2

2

，可知：2c＝sinC，

2

2

2

∴sinA+sinB+sinAsinB＝sinC．由正弦定理得a+b+ab＝c．

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∴由余弦定理得∴

，

．…………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c＝sinC， ∴2a＝sinA，2b＝sinB． ∴△ABC的周长为＝

∵∴∴

，

， ，

．……………………………（12分）

∴△ABC的周长的取值范围为

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18．（12分）如图，三棱台ABC﹣EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF． （Ⅰ）求证：AB⊥CG；

（Ⅱ）若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG为平行四边形，从而

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CG∥DF，DF⊥BC，CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．

（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由CG⊥平面ABC，CG∥DF，DF⊥AD，DF⊥BC，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz．利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．

由ABC﹣EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG． ∵CB＝2GF，∴

，

∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF． ∵BF＝CF，D为BC的中点， ∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG?平面BCGF， ∴CG⊥平面ABC，而AB?平面ABC， ∴CG⊥AB．

解：（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC． 由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF， ∴DF⊥AD，DF⊥BC， ∴DB，DF，DA两两垂直．

以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz． 设BC＝2，则A（0）， ∴

设平面BEG的一个法向量为

，

．

，

．

），E（

），B（1，0，0），G（﹣1，

，

由可得，．

令，则y＝2，z＝﹣1，∴．

设AE与平面BEG所成角为θ， 则

直

线

AE

与

平

面

BEG

所

成

角

的

正

弦

值

为

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．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．（12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：

方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；

方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．

某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数 台数 0 5 1 10 2 20 3 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算．

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