2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)

A．7

B．8

C．9

）

n﹣1

D．10

，根据错位相减法求和即可

【分析】由题意可得第n层的货物的价格为an＝n（?求出．

【解答】解：由题意可得第n层的货物的价格为an＝n?（设这堆货物总价是Sn＝1?（由①×

可得

Sn＝1?（

）+2?（）+2?（

10

）

n﹣1

， ）

n﹣1

）+3?（）+3?（

2

1

）+…+n?（）+…+n?（

3

2

，①，

），②，

n

由①﹣②可得

Sn＝1+（

）+（

1

）+（

2

）+…+（

3

）﹣n（?

n﹣1

）＝

n

﹣n?（）＝10﹣（10+n）（?

n

n

），

n

∴Sn＝100﹣10（10+n）（?∵这堆货物总价是∴n＝10， 故选：D．

），

万元，

【点评】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．

12．（5分）函数f（x）＝e﹣e围是（ ） A．C．

B．（1﹣e，0）∪（0，e﹣1） D．

﹣

﹣2b|t|，条件转化为

x

1﹣x

﹣b|2x﹣1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范

【分析】利用换元法设t＝x﹣，则函数等价为y＝

﹣＝2b|t|，研究函数的 单调性结合绝对值的应用，利用数形结合进行求解即

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可．

【解答】解：f（x）＝e﹣e设t＝x﹣，则x＝t+， ∵0＜x＜1，∴﹣＜t＜，

x

1﹣x

﹣2b|x﹣|，

则函数f（x）等价为y＝即等价为y＝

﹣

﹣﹣2b|t|，

﹣2b|t|在﹣＜t＜上有两个零点，

即﹣＝2b|t|有两个根， ﹣﹣+

， ＝﹣（

﹣

）＝﹣h（t），即函数h（t）是奇函数，

设h（t）＝则h（﹣t）＝则h′（t）＝

＞0，即函数h（t）在﹣≤t≤上是增函数，

h（0）＝0，h（）＝e﹣1，h（﹣）＝1﹣e， 当0≤t≤，

若b＝0，则函数f（x）只有一个零点，不满足条件． 若b＞0，则g（t）＝2bx，

设过原点的直线g（t）与h（t）相切，切点为（a，h′（t）＝

+

，即h′（a）＝﹣

）＝（

++

，

）（x﹣a）， ﹣

），

则切线方程为y﹣（切线过原点， 则﹣（即﹣则（a+1）

+﹣

）＝﹣a（＝﹣a＝（﹣a+1）

﹣a

+， ，

），

得a＝0，即切点为（0，0），此时切线斜率k＝h′（0）＝

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＝2

若2＝2b，则b＝＝，此时切线y＝2x与h（t）相切，只有一个交点，不满

足条件．

当直线过点（，e﹣1）时，e﹣1＝2b×＝b， 此时直线g（t）＝2（e﹣1）x， 要使g（t）与h（t）有两个交点，则当b＜0时，t＜0时，g（t）＝﹣2bx， 由﹣2b＝2得b＝﹣

，当直线过点（﹣，1﹣e）时，1﹣e＝﹣2b（﹣）＝b，

，

＜b＜e﹣1，

要使g（t）与h（t）有两个交点，则1﹣e＜b＜﹣综上1﹣e＜b＜﹣

或

＜b＜e﹣1，

即实数b的取值范围是故选：D．

，

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S4＝16，则数列{an}的公差d＝ 2 ． 【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 【解答】解：由a2＝3，S4＝16， ∴a1+d＝3，4a1+6d＝16， 联立解得a1＝1，d＝2， 故答案为：2．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．（5分）若

，则cos2α+cosα＝ ．

【分析】根据三角函数的诱导公式求出cosα的值，结合二倍角公式进行转化求解即可． 【解答】解：∵∴cosα＝，

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，

则cos2α+cosα＝2cosα﹣1+cosα＝2×﹣1+＝﹣， 故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用诱导公式以及二倍角公式是解决本题的关键．

15．（5分）若a+b≠0，则

的最小值为 2

2

．

2

【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得a+b＞

≥

+

，进而可得

，结合基本不等式的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，若a+b≠0，即a≠﹣b，则有a+b＞则

≥

+

≥2

＝

2

2

，

，

即故答案为：

的最小值为；

【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是构造基本不等式成立的条件． 16．（5分）已知半径为4的球面上有两点A，B，

o

，球心为O，若球面上的动点C

．

满足二面角C﹣AB﹣O的大小为60，则四面体OABC的外接球的半径为

【分析】由球面动点C想到以O为顶点，以A，B，C所在球小圆O′为底面的圆锥，作出图形，取AB中点E，∠OEO′＝60°，进而求得高和底面半径，列方程求解不难． 【解答】解：

如图，设A，B，C所在球小圆为圆O′， 取AB中点E，连接OE，O′E，

则∠OEO′即为二面角C﹣AB﹣O的平面角，为60°， 由OA＝OB＝4，AB＝

，

得△AOB为等腰直角三角形， ∴OE＝

，

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