毕业论文二次型的几个应用

?A???X??1AA证明 f(X)??X?1??, 因正定, 所以存在(对称); 而 ?????????1?0?0?0??A???En0??A0?En?En??En?, ????A?11?, ????A?11??????????A?11??0????A?1??????A?11??????????????1因此

0??A0?E??Enf(X)??X?1??n?1??1??1????A??0????A???0A?1???X???? 1??1? =??X????A?10?A??X?A?1??1?? ??0????A?1???1???? = (X?A?1?)?A(X?A?1?)?????A?1? =Y?AY?(????A?1?)

其中Y?X?A?1?, 因A正定, 故当且仅当Y?0时, Y?AY取最小值0, 从而当且仅当

X??A?1?, f(x)取得最小值????A?1?.

2.1 一般的n元二次式的最值的判定与求法

一般的n元二次多项式的形式为

??aijxiyj?2?bixi?c

i?1j?1i?1nnn(2.1.1)

而（2.1.1）存在最值的充要条件为

??aijxiyj?2?bixi

i?1j?1i?1nnn(2.1.2)

存在最值(上式中aij?aji), 故只需要对(2.1.2)进行讨论.

定理2.1 实n元多项式(2.1.2), 它的矩阵为A, 秩为r, 对(2.1.2)作非退化的线性替换, X?PY, 其中

?EsP?AP???0??00?Er?s00?0??, 0??那么, (i) 当A半正定时;

1 若r?n, 则(2.1.2)存在最小值;

2 若r?n, 一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(2.1.2)有最小值;

3 若r?n, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现, 则(2.1.2)不存在最

值.

(ii) 当A半负定时:

1 若r?n, 则(2.1.2)存在最大值;

2 若r?n, 一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(2.1.2)有最大值;

3 若r?n, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现, 则(2.1.2)不存在最值.

(iii)A不定, 则(2.1.2)不存在最值.

证明 (i) 令X?(x1,x2,?xn)?,A?(aij)n?n , B?(b1,b2,?,bn)则(2.1.2)改写为:

X?AX?2BX

(2.1.3)

?E因A半正定, 故存在可逆矩阵P, 使P?AP??r?0变为

0?, 对(3)作非退化线性替换X?PY, ?0? Y?P?APY?2BPY

(2.1.4)

其中Y?(y1,y2,?,yn), 而2BPY?2c1y1?2c2y2???2cnyn, 其中ci??bjpji.

j?1n(1) 若r?n, P?AP?En, 这时(2.1.4)变成,

22y12?y2???yn?2c1y1?2c2y2???2cnyn

nn?(y1?c1)?(y2?c2)???(yn?cn)??ci???ci2.

2222i?1i?1等号成立当且仅当yi??ci(i?1,2,3,?,n)时取得, 此时将yi??ci代入X?PY得唯一一组X的解, 此即取最值的点.

(2) 若r?n, 因A正定, 故A的秩等于它的正惯性指数, 即存在可逆矩阵P, 使

?Er?PAP???00?, 在非退化线性替换X?PY下, (2.1.4)式变为, ?0?0?22Y?2BY?y12?y2???yn?2c1y1?2c2y2???2cnyn. ?0?(2.1.5)

?E Y??r?0若一次项所含新字母均在平方项中出现, 即至少有cr?1?cr?2???cn?0,(2.1.5)可变为r个数的完全平方加一个常数, 故存在最小值.

(3)一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现, 即cr?1,cr?2,?,cn中至少一个不为零, 不妨设cr?1?0, 此时(2.1.5)变为,

(y1?c1)2?(y2?c2)2???(yn?cn)2?2c1y1?2c2y2???2cnyn.

令y1???yr?yr?2???yn?0, yr?1取绝对值很大的负值, 则上式的值会很小, 故不存在最小值; 又若yr?1取绝对值很大的正值, 则上式的值将会很大, 故不存在最大值. 因此不存在最值.

(ii)A半负定, 则?A?(?aij)n半正定, 利用(i)可得(ii)的结论成立.

?Er(iii)A不定, 则存在可逆矩阵P, 使P?AP???0??00?Es00?0??, 其中r,s均不为零. 0??否则s?0, 则A半正定; r?0则A半负定, 则都与A不定矛盾. 这时(2.1.5)式变为

y???y?y212r2r?1???y2r?s?2?ciyi,

i?1n令y2???yn?0, 而y1取任意的数, 可以知道上式的值大于任何给的正数, 故不存在最大值. 令y1???yr?yr?2???yn?0, 而yr?1取任意大的数, 则上式的值小于任何预先给定的负数, 故不存在最小值.

例 1 讨论

222x12?3x2?2x3?3x4?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x4?2x3x4?2x1?2x2?x3?2x4?3

是否有最值.

解 将上式的矩阵A写出, 对A作合同变换得到

3?1?1??2?1?01?P??2?001??0?00?2??1??2?????1?, 它使P?AP??? 1????2?2???0????1??主对角线上有一零, 故知r?3?n, 而对角线上其余的非零数全是正的, 故知A半正定

矩阵, 是否存在极值还应看替换后的情形才能定. 作线性替换X?PY, 原多项式的二

2y3次齐次项部分变为, y?2y?, 一次项部分为

221222(y1?y2?y3y3?2y4)?4(y2?3?y4)?(y3?2y4)?2y4?2y1?2y2?2y3. 22所含字母y1,y2,y3均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换

后的多项式配方, 得

2y312(y3?2)212y?2y??2y1?2y2?2y3?3?(y1?1)?2(y2?)??

2222212211故当y1?1,y2??,y3?2时, 上式有最小值?.

2271将y1,y2,y3代入X?PY中, 当x1???2y4,x2??y4,x3?2?y4,x4?y4(y4为任意

221常数)时, 原式有最小值?.

2例2 已知实数x，y满足x2?y2?1, 求f(x,y)?x2?2y2?2xy的最大值和最小值. 解 f(x,y)的矩阵为

?E?A???1111由定理可知, f(x,y)在x2?y2?1下的最大值为(3?5), 最小值为(3?5).

22 定义2.1

1) 矩阵A的k阶子式: 在一个s?n矩阵A中任意选定k行k列, 位于这些选定的

行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k阶行列式, 称为A的一个k阶子式;

2) 矩阵的k阶主子式: 就是指行指标和列指标相同的k阶子式. 定理2.2 设n元二次型为

22 F(x1,x2,?,xn)?a11x12?a22x2???annxn?2a12x1x2?2a1nx1xn???2an?1,nxn?1xn

?1?1?A???.

??12?111??2?3??1,因此,特征值?1?(3?5)，?2?(3?5). 于是,

22??2（2.2.1)

则n元二次型的特征方程是

??a11?a21??an1?a12??an2???a13?a23???n?I1?n?1?I2?n?2???(?1)n?1In?1??(?1)nIn?0,

??a11????ann其中Ii(i?1,2,?,n)是n元二次型的矩阵A的一切i阶主子式之和. 证明 根据行列式的性质, 将行列式