《高等数学》（同济六版上）期末模拟试题

一、填空题（每题3分） 1、f(x)?1，则f(f(x))? ，f(f(f(x)))? 。 1?x11f(f(x))???1?x?x?1 1?f(x)1?1?xx1?xf(f(f(x)))?311??x?x 1?f(f(x))1?x?11x2、已知limx?01?kx?1??1，则k? 。

x321(1?kx)?3k31?kx?1lim?lim3?k??1?k??1 x?0x?0x133f(x0?a?x)?f(x0)43、若f(x)在x?x0可导，且lim=f?(x0)，则a? 。

?x?0?x3f(x0?a?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)lim?alim?af?(x0)?a?4 ?x?0?x?0?xa?x31?124、f????x??1，则f?(x)= 。

x?x? f(x)?x?12?1f?(x)?1?23xx5、设

?x0f(t)dt?ln(x2?1)，则f?(2)= 。

f(x)?2x21?x2(1?x2)?4x2f?(x)?(1?x2)2f?(2)??6

256、若f(x)满足f(x)?f(0)?x?g(x)，且limg(x)?0，则f?(0)= 。

x?0xf(x)?f(0)x?g(x)f?(0)?lim?lim?1

x?0x?0xx7、

????sin5xdx?0

???p(x)dxp(x)dx?dx?e?8、方程y??p(x)y?q(x)?0的通解是y?C?q(x)e?。

???9、在极坐标下，由曲线???,???,(???)，???1(?),???2(?),（?1(?)??2(?)）围成的平面图形的面积A?1??2(?)??2(?)d?。

12??21)ax?atetdt，则a? 。

???xaa1因为lim(1?)ax?ea，?tetdt?tet???etx????x??10、lim(1?x??????a???(a?1)ea，所以a?2

得分 1、y?f??评卷人

二、计算题（每题7分）

2x?1?2?，且f?(x)?sinx，求dy

?x?1?解 因为： y??f???2x?1??2(x?1)?(2x?1)?f??2x?1??3。所以： ???22x?1x?1????(x?1)(x?1)3sin?2x?1?dx

dy????x?1?(x?1)22?x?etsin2t2、求曲线?在点(0,1)的法线方程。 t?y?ecost解 x??e(sin2t?2cos2t)，y??e(cost?sint)，

ttdydxt?0?1，y?2x?1 23、

?exdx?(1?ex)?2dex?21?ex?C

?1?ex10314、5、

?ex?exdx??eedx??ede?e001xex1exx??ex10?ee?1

?1131x32323max1,x,xdx?xdx?dx?xdx???4??4??1?13?????1?4?2?1x44??31?43

6、 解1

??1011dx1?

???2?dx?2arcsinx?004x(1?x)1?(x)2解2

10211xtdxx2t?t，x???dx，令dx?dt， ，2220x1?x1?xx(1?x)1?t(1?t)所以：

?10??1?t2??dx2t1dt?2?arctant?????

???t?dt?20?01?t204x(1?x)t2(1?t2)27、求(x?y)y??x?y的通解

解 原方程化为：xdy?ydx?xdx?ydy，d(xy)?1d(x2?y2)，所以原方程的通解为：

2x2?2xy?y2?C

8、求二阶方程y???4y?e的通解

2x?2x解 特征方程为r?4?0，特征根为r1,2??2， 齐次方程的通解为Y?C1e?C2e，设原方程的一

22x个特解为y?axe，y??a(2x?1)e

2x2x，y???4a(x?1)e，代入方程得a?2x1，所以原方程的通解为：

4

y?C1e2x?C2e?2x?1xe2x。

4 得分

评卷人 三、已知曲线y?ax,(a?0)与y?lnx在点(x0,y0)处有公切线，求

（1）常数a与切点(x0,y0)。（5分） （2）曲线与x轴所围的几何图形的面积。（4分） （3）该图形饶x轴旋转所成的旋转体的体积。（5分） 解 （1）因为y??a2x，y??1，a?1，x?1，y?1??lna，?12a?e所以，由此得，x?e02x2xxay0?1。

?e2y2dy?1(e2?1)?1e2?1e2?1

02362e2e2x2)dx???(lnx)2dx?? （3）V???(01e2（2）A?12y??e?

《高等数学》试卷（同济六版上）四

得分 评卷人 一、填空题（每题2分，共18分）

?x?a , x?0?1、函数f(x)??1?1 , x?0在(??,??)上连续，则a??1。

xsin?x?2、limx?0ln(1?3x)ln(1?3x)? 。 因为：lim?lim?3x??3

x?0x?0sinxsinxx23、当x?0时，1?x?1是关于x的 阶无穷小。

1?x2?1?22因为lim，所以1?x?1是关于x的2阶无穷小。 ?lim??12x?0x?0x1?x2?14、已知f?(x0)?2，则limh?0f(x0?2h)?f(x0)= 。

hlimh?0f(x0?2h)?f(x0)f(x0?2h)?f(x0)??2lim??2f?(x0)??4

h?0h?2h5、

?2?2(x4?x2sin3x)dx= 。

2x5423(x?xsinx)dx???252??20?64 5

6、已知f(x)??x0etdt,则f?(0)? 。

因为f(x)?ex，f?(x)?2xex，则f?(0)?0

2227、d??f(x)dx??f(x)dx

8、微分方程xy????y???x5，称为 三阶线性 微分方程。 9、方程y???2y??4?0的通解为y?C1?C2e?2x?2x。 二、填择题（（每题2分，共10分）

得分 评卷人 ?x?1(1?x?1),x?01、设f(x)??则x?0是f(x)的（ A ）

,x?0?0 （A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）连续点 （D）跳跃间断点 解 因为limf(x)?limx?0x?01?x?11??0?f(0) x22、函数f(x)?x?2在点x?2处的导数是（ D ） （A）1 （B）0 （C）?1 （D）不存在 3、已知f(x)的一个原函数是e （A）?2xe2?x2?x2，则xf?(x)dx?（ C ）

（C）e?x(?2x2?1)?C （D）xf(x)?2? （B）?2xe2?x2?f(x)dx

2解 因为f(x)?e4．积分中值定理

????2xe?x2?x2，所以xf?(x)dx?xf(x)???f(x)dx??(2x2?1)e?x?C

?ba。 f(x)dx?f(?)(b?a)，其中（ B ）

（A）?是[a，b]内任一点 （B）?是[a，b]内必存在的某一点

（C）?是[a，b]内唯一的某一点 （C）?是[a，b]内中点 5．方程ylnydx?(x?lny)dy?0是（ B ）

（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）齐次方程 （D）以上都不对 得分 评卷人 三、解答题（每题4分，共40分）

1、求极限limx?0x?arctanx?limx?0sin3x1?111?x2?lim

x?03(1?x2)3x2