《高等数学》（同济六版上）期末模拟试题

1、若函数f(x)?

xx，则limf(x)?（《高等数学》试卷（同济六版上）一

x?0 得分 ）. A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A、ln1x?2(x?0?) B、lnx(x?1) C、cosx(x?0) D、2(x?2) xx?4评卷人

一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

3、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（ ）.

A、极大值点 B、极小值点 C、驻点 D、间断点 4、函数f(x)在x?x0处连续是f(x)在x?x0处可导的（ ）.

A、必要但非充分条件 B、充分但非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A、?sinxdx B、?e00?????2xdx C、???0??11dx D、?dx

0xx得分 评卷人

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

x?0x?0x??e,6、当k= 时，f(x)??2??x?k,在x?0处连续.

7、设y?x?lnx,则

dx?_______________. dyx8、曲线y?e?x在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)?____________.

x3sin2xdx=____________. 10、定积分??5x4?15

得分 评卷人

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、求极限 limx?04?x?2.

sin2x12、求极限 limx?0?cosx1e?tdt22x.

13、设y?e5?ln(x?1?x2)，求dy.

?x?ln(1?t2)dyd2y14、设函数y?f(x)由参数方程?所确定，求和2.

dxdx?y?arctant15、求不定积分?1?2?sin?3??dx. 2x?x??ex,x?02?16、设f(x)??1，求?f(x?1)dx.

0,x?0??1?x得分 评卷人 1

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17、证明：?xm(1?x)ndx=?xn(1?x)mdx (m,n?N).

00118、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0?a?b时，

b?abb?a?ln?. baa

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）

19、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？ 得分 评卷人 20、设曲线y?x2与x?y2所围成的平面图形为A，求 （1）平面图形A的面积；

（2）平面图形A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积

《高等数学》试卷（同济六版上）二

得分 评卷人 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(　).

（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

1?x设?(x)?，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）1?x2. .

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

3. 若

F(x)??(2t?x)f(t)dt0x，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且f?(x)?0，则

（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值；

（B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点； （D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?f(t)dt , 则f(x)?(01)

x2x2?2（A）2 （B）2（C）x?1 （D）x?2.

得分 评卷人 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

2sinx5.

.

cosxcosx已知是f(x)的一个原函数,则?f(x)?dx?xx6. .

x?0lim(1?3x)?7.

n??12lim?n(cos2?n?cos22?n?1???cos2?)?nn .

?8. －x2arcsinx?11?x2dx? .

12得分 评卷人 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 9. 9.设函数由方程

1?x7求?dx.7x(1?x)10.

?x?xe，　　x?0 1?设f(x)??　求?f(x)dx．?32??2x?x，0?x?111.

112.设函数f(x)连续，

g(x)??f(xt)dt0，且x?0limf(x)?Ax，A为常数. 求g?(x)并讨论

g?(x)在x?0处的连续性.

13.求微分方程xy??2y?xlnx满足

四、 解答题（本大题10分） 得分 评卷人

14.已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 得分 评卷人 五、 解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 得分 评卷人 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

y(1)??19的解.

,]16.设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[01，

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.

?????0,?f(x)17.设函数在上连续，且0

f(x)dx?0，

?0f(x)cosxdx?0.证明：在

x.?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0（提示：设

F(x)??f(x)dx0）

《高等数学》试卷（同济六版上）三

得分

评卷人